การเคลอ่ื นที่แบบฮารม์ อนิกอย่างงา่ ย 1
การเคลื่อนที่แบบฮาร์ มอนิ กอย่างงา่ ย
การเคลอื่ นที่แบบฮาร์มอนกิ อยา่ งงา่ น (simple harmonic motion: SHM)
เปน็ การเคลือ่ นทีก่ ลับไปมาซ้ำรอยเดิมผ่านตำแหน่งสมดลุ (equilibrium position)
มคี าบของการเคล่ือนที่และขนาดของการกระจัดสงู สดุ (แอมพลิจูด) คงตัว
เช่น การแกวง่ ของลกู ตมุ้ นาฬิกา, การสนั่ ของมวลทีต่ ิดปลายสปริง
คา่ พน้ื ฐานทต่ี ้องรูข้ องการเคลือ่ นท่แี บบฮาร์มอนกิ อย่างง่าย
ความถ่ี (f) คาบ (T)
• คือ
จำนวนรอบของวตั ถทุ เ่ี คลอื่ นท่ีได้ใน 1 • คอื เวลาทวี่ ัตถเุ คลอ่ื นทีไ่ ด้ใน 1 รอบ
• มหี น่วยเป็น ต่อวินาที (s-1) หรือ เฮิรตซ์ (Hz) • มีหนว่ ยเป็น วินาที (s)
จำนวนรอบ ความสัมพนั ธ์ระหว่างคาบกับความถ่ี เวลา
= เวลา = จำนวนรอบ
1
=
แบบฝกึ หัดท่ี 1
1. ถา้ อนุภาคส่นั ครบ 20 รอบ ในเวลา 40 วินาที จงหาความถี่และคาบของอนภุ าค
2. จงหาคาบของการเคล่ือนท่ีตอ่ ไปน้ี (ในหนว่ ยวนิ าที)
ก. ชพี จรเต้น 29 คร้ัง ใน 20 วนิ าที
ข. เคร่ืองยนต์หมนุ 3,200 รอบต่อนาที
การเคล่ือนท่แี บบฮาร์มอนกิ อยา่ งงา่ ย 2
3. จงหาความถ่ีของเหตกุ ารณต์ อ่ ไปนี้ (ในหนว่ ยต่อวินาทีหรอื เฮริ ตซ์)
ก. สายซิสัน่ 43 รอบ ใน 0.1 วินาที
ข. ใบพกั เคร่อื งปั่นอาหารหมนุ 13,000 รอบใน 1 นาที
4. คนั เคาะเครื่องเคาะสญั ญาณเวลาทำใหเ้ กดิ จุดบนแถบกระดาษ 1,200 จุด ใน 1 นาที คาบและความถ่ขี องคนั เคาะ
มคี ่าเท่าใด (ในหนว่ ยวินาทีและต่อวินาทหี รอื เฮิรตซ์ ตามลำดับ)
การเคลื่อนท่แี บบฮารม์ อนกิ อยา่ งงา่ ย 3
ปรมิ าณท่เี กีย่ วข้องกับการเคล่ือนทแ่ี บบฮารม์ อนกิ อยา่ งงา่ ย
ความถเ่ี
ชงิ มุม (ω) ω คอื ความถเ่ี ชิงมุม มีหน่วยเปน็ เรเดยี นตอ่ วนิ าที (rad/s)
(ω) T คือ คาบของการเคลื่อนท่ี มีหนว่ ยเปน็ วินาที (s)
f คือ ความถข่ี องการเคล่ือนที่มีหนว่ ยเป็น เฮิรตซ์ (Hz)
= =
การกระจัด (X)
• การกระจดั ของวัตถทุ ่ีตำแหน่งต่าง ๆ โดยวัดอ้างอิงจากตำแหนง่ สมดลุ
A คอื การกระจัดสงู สดุ หรอื แอมพลจิ ูด มีหนว่ ยเป็นเมตร (m)
= ( + ∅) ω คือ ความถ่เี ชิงมุม มหี นว่ ยเป็น เรเดียนตอ่ วนิ าที (rad/s)
X คอื ขนาดการกระจดั ของวตั ถุ มหี นว่ ยเป็น เมตร (m)
∅ คอื มมุ เฟสเร่มิ ต้น หรอื คา่ คงทเ่ี ฟส (phase constant)
ความเรว็ (V)
• การหาความเร็วของวัตถทุ ต่ี ำแหน่งต่าง ๆ โดยวัดอ้างองิ จากตำแหนง่ สมดลุ
= ( + ∅) = √ −
ท่ีตำแหน่งสมดลุ =
• ความเรว็ ของวัตถมุ ีค่ามากท่สี ุด
ความเร่ง (a)
• การหาความเร่งของวตั ถุทีต่ ำแหน่งตา่ ง ๆ โดยวัดอา้ งองิ จากตำแหนง่ สมดลุ
= − ( + ∅) = −
ทต่ี ำแหน่งไกลสดุ =
• ความเรว็ ของวตั ถมุ คี า่ มากทส่ี ดุ
โดยที่ A คือ การกระจัดสงู สุดหรอื แอมพลจิ ดู มหี นว่ ยเป็นเมตร
(m)
ω คือ ความถเี่ ชิงมมุ มหี น่วยเป็น เรเดียนต่อวนิ าที (rad/s)
X คอื ขนาดการกระจัดของวัตถุ มีหนว่ ยเป็น เมตร (m)
∅ คือ มมุ เฟสเรมิ่ ต้น หรอื ค่าคงท่ีเฟส (phase constant)
V คอื ขนาดความเร็วของวัตถุ มีหนว่ ยเป็น เมตรตอ่ วินาที (m/s)
a คอื ขนาดความเร่งของวัตถุ มีหน่วยเป็น เมตรต่อวินาที2 (m/s2)
การเคล่ือนทีแ่ บบฮารม์ อนกิ อยา่ งง่าย 4
แบบฝึกหดั ท่ี 2
1. รถติดปลายสปริงเคลอื่ นทแี่ บบฮาร์มอนกิ อย่างง่าย ดว้ ยแอมพลจิ ดู 15 เซนตเิ มตร และความถี่ 4
รอบต่อวินาที
จงหาความเรว็ สูงสุด และความเร่งสูงสดุ ของรถทดลอง
2. วตั ถุก้อนหน่ึงเคลอื่ นทีแ่ บบฮาร์มอนกิ อย่างงา่ ยรอบจุดสมดุล โดยมีอัตราเร็วสงู สดุ 5 เซนตเิ มตรตอ่ วนิ าที โดยมคี าบ
เท่ากับ 2 วินาที ถามว่าขณะทีว่ ัตถุมีความเร็ว 3 เซนติเมตรตอ่ วินาที วตั ถอุ ยู่ห่างจากจดุ สมดุลเท่าใด
3. วัตถุก้อนหน่ึงเคล่อื นท่ีแบบซิมเปิลฮารม์ อนิก โดยมคี วามถี่ 14 Hz และมอี ตั ราเรว็ สงู สดุ 4.5 เมตรต่อวนิ าที จงหา
อัตราเรว็ เชิงมุมและอตั ราเร่งสูงสุด
การเคล่ือนทแ่ี บบฮาร์มอนิกอยา่ งงา่ ย 5
4. วตั ถุเคลอ่ื นท่ีแบบฮารม์ อนกิ สอ์ ยา่ งง่าย มแี อมพลจิ ูด 30 เซนตเิ มตร มคี าบการเคลอื่ นท่ี 4 วินาที อตั ราเร็วสูงสดุ ของ
การเคล่ือนท่ีมีค่าเท่าใด
5. วัตถหุ น่ึงเคลื่อนทแ่ี บบฮาร์มอนกิ อยา่ งง่ายด้วยความถี่ 30 รอบตอ่ วินาที มขี นาดการกระจดั สงู สุด 20 เซนติเมตร
ความเร่งสงู สดุ จองวัตถุนมี้ คี ่าเท่าใด
6. วตั ถหุ นึ่งเคลอ่ื นทีแ่ บบฮารม์ อนกิ อยา่ ง่ายรอบจดุ สมดุล O โดยมีอัตราเรว็ สูงสดุ 5.0 เซนติเมตรต่อวินาที และมีคาบ
การส่ันเท่ากับ 4 วินาที ขณะทวี่
ัตถุมอี ตั ราเร็ว 3.0 เซนตเิ มตรต่อวนิ าที วัตถุอยู่ห่างจากจดุ สมดุล O เปน็ ระยะกเ่ี ซนตเิ มตร
การเคลื่อนทแี่ บบฮาร์มอนิกอยา่ งง่าย 6
7. จงเขียนสมการการกระจดั ทขี่ ึ้นอยูก่ บั เวลาของวัตถุตดิ ปลายสปรงิ ท่ีเคล่ือนที่แบบฮารม์ อนิกอยา่ งง่ายมตี ำแหน่งเริม่
ตน้ ตา่ งกนั ในตาราง กำหนดให้ ความถ่ีเชิงมุมเท่ากับ ω แอมพลจิ ูดเท่ากับ 4
การเคลื่อนทแี่ บบฮารม์ อนิกอยา่ งงา่ ย 7
กราฟความสัมพนั ธ์ระหวา่ งการกระจดั ความเร็ว ความเร่ง กบั เวลา
➢ กราฟแสดงความสัมพนั ธ์ระหว่างกระกระจัด X กับเวลา t ที่มมุ เฟสเรมิ่ ตน้ ใด ๆ
โดยแอมพลิจดู A หาไดจ้ ากระยะจากตำแหนง่ สมดลุ (x = 0) ไปยงั สันคลื่นหรอื ท้องคล่ืน ซงึ่ ค่าทั้งสองตง้ั เทา่ กนั ส่วน
คาบในการกวัดแกวง่ T ซง่ึ เปน็ เวลาทว่ี ัตถเุ คล่ือนทคี่ รบ 1 รอบ จะวดั จากสันคลน่ื หน่งึ ถึงสันคล่ืนทอ่ี ยูต่ ิดกนั หรือท้องคลื่น
หนงึ่ ถึงท้องคลนื่ ท่อี ย่ตู ิดกนั
➢ กราฟแสดงความสมั พันธร์ ะหวา่ งความเร็ว V กับเวลา t ท่ีมุมเฟสเริ่มต้นใด ๆ
เมือ่ พิจารณาที่ตำแหนง่ สมดุล (x = 0) อัตราเรว็
สูงสุดหาได้จาก Vmax = ωA และท่ตี ำแหนง่ แอมพลจิ ูด (x ±A)
อัตราเรว็ ของวัตถุจะเปน็ ศนู ย์ (v = 0)
➢ กราฟแสดงความสัมพันธร์ ะหว่างความเร่ง a กับเวลา t ที่มมุ เฟสเร่ิมตน้ ใด ๆ
เมือ่ พิจารณาที่ตำแหนง่ สมดุล (x = 0) ขนาดของความเรง่ จะเปน็ ศูนย์ (a = 0) และที่ตำแหน่งแอมพลิจูด (x ±A)
ขนาดของความเร่งสงู สุดจะหาได้จาก amax = ω2A
การเคลอื่ นทีแ่ บบฮาร์มอนกิ อยา่ งงา่ ย 8
ตัวอยา่ งการเคล่อื นท่แี บบฮารม์ อนกิ อยา่ งง่าย
การแกวง่ ของลูกต้มุ นาฬิกา การเคลือ่ นท่ีของวัตถตุ ิดสปริง
- มวล m ผูอยกู่ บั เชือกเบาความยาว L กรณกี ารเคลือ่ นทข่ี องวตั ถุทีต่ ่อกบั สปริงเพียงตวั
หอ้ ยอยใู่ นแนวด่ิงทำมมุ θ กนั เดยี ว
- มวล m ติดสปริงทม่ี ีค่านิจสปรงิ k โดยเคลอื่ นท่ี
กลับไปกลบั มาผ่านตำแหน่งทจี่ ุดสมดุล และมี
ตำแหนง่ ยดื ออกหรอื หดเข้าจากตำแหนง่ สมดุล x
คาบ (T) = √
ความถ่ี (f) = √
ความถ่ีเชิงมมุ ( )
โดยท่ี = √ = √
= √ = √
f คือ ความถ่ี มีหน่วยเป็น ต่อวินาที (s-1) หรือเฮริ ตซ์ (Hz)
ω คือ ความถ่เี
ชงิ มมุ มีหน่วยเป็น เรเดยี นต่อวนิ าที (rad/s)
T คือ คาบ มหี นว่ ยเปน็ วนิ าที (s)
g คอื ค่าแรงโนม้ ถว่ งของโลก มีค่าประมาณ 10 m/s2
l คอื ความยาวของเชอื ก มหี น่วยเปน็ เมตร (m)
m คอื มวลของวัตถุ มีหน่วยเป็น กิโลกรมั (kg)
k คือ ค่านิจของสปริง มหี น่วยเปน็ นิวตนั ตอ่ เมตร (N/m)
การเคล่ือนที่แบบฮารม์ อนกิ อย่างง่าย 9
แบบฝกึ หัดท่ี 3
1. สปริงอันหนึ่งมคี า่ คงตวั 10 นิวตนั ตอ่ เมตร วางอย่บู นโต๊ะท่ไี ม่มีแรงเสยี ดทาน โดยทีป่ ลายข้างหนง่ึ ของสปริงถูกตรึง
ไว้กับท่ี
สว่ นปลายอีกขา้ งหนึง่ ติดกบั วตั ถมุ วล 0.40 กิโลกรัม เมือ่ ดึงวัตถใุ หย้ ืดออก 10 เซนติเมตร จากจดุ สมดลุ และปลอ่ ย
วัตถุจะเคลอื่ นท่แี บบฮารม์ อนิกอยา่ งงา่ ย
ก. จงหาการกระจัดทเ่ี วลาใด ๆ
ข. อตั ราเร็วสงู สุดของวัตถุ
ค. อตั ราเร่งสงู สดุ ของวตั ถุ
การเคลอ่ื นทแ่ี บบฮารม์ อนิกอยา่ งง่าย 10
2. ตรึงปลายสปรงิ ขา้ งหนึ่งไวใ้ นแนวดิ่ง นำมวล 3 กโิ ลกรมั มาแขวนทป่ี ลายอีกข้างหน่ึง ทำให้สปริงมคี าบการส่นั อยู่ท่ี
2 วินาที ถ้าเปลย่ี นมวล โดยนำมวล 6 กิโลกรมั มาแขวนแทน
คาบการสน่ั จะเปน็ เท่าใด
3. ทำการทดลองเร่ืองซมิ เปิลฮารม์ อนิกในแนวระดบั โดยการวงถงุ ทรายมวล 1 กิโลกรมั ไว้บนรถทดลองท่มี มี วล 200
กรัม ดา้ นหนง่ึ ของสปรงิ เก่ียวรถทดลองไว้ อีกดา้ นของสปริงถูกตรงึ ไวก้ บั ผนงั เมื่อดึงดว้ ยแรง 18 นิวตัน จำทำให้สปริงยืดออก
22 เซนติเมตร ถามว่าเม่อื ปลอ่ ยสปริงรถจะเคล่ือนทไี่ ปกลบั แบบซิมเปิลฮาร์มอนิกดว้ ยความถ่เี ท่าใด กำหนดให้รถทดลอง
เคล่ือนท่ไี ปพร้อมถงุ ทราย
การเคลื่อนท่ีแบบฮารม์ อนกิ อย่างงา่ ย 11
4. กลอ่ งใบหนึง่ ถูกผกู ตดิ กบั
สปรงิ ที่มคี า่ คงตัว 400 นวิ ตนั ต่อเมตร ณ เวลาหนงึ่ มกี ารกระจัด ความเรว็ และความเร่ง
ของกล่องเปน็ 0.10 เมตร -13.6 เมตรต่อวินาที และ -123 เมตรต่อวนิ าที2 ตามลำดับ
ก. จงหาคาบของการกวดั แกว่ง
ข. จงหามวลของกลอ่ ง
ค. จงหาแอมพลิจดู ของการกวัดแกว่งของกล่อง
การเคลือ่ นทแ่ี บบฮารม์ อนิกอยา่ งง่าย 12
5. แขวนมวล 4.9 กโิ ลกรมั กบั สปรงิ แล้วปลอ่ ยให้ส่นั ขนึ้ ลง วัดคาบของการสน่ั ได้ 0.5 วนิ าที ถา้ เอามวล 4.9 กิโลกรัม
ออก สปริงจะสั้นกวา่ ตอนที่แขวนมวลอย่เู ท่าใด
6. จากรปู เป็นกราฟแสดงความสัมพนั ธร์ ะหว่างการกระจัดกบั เวลาของการเคลื่อนที่ของวัตถมุ วล 50.0 กรมั ซ่ึงติดไว้
กับปลายอีกขา้ งหนึ่งของสปรงิ เบา ถ้าไม่คิดแรงเสียดทานทก่ี ระทำต่อวัตถแุ ละลวดสปรงิ ค่าตงตัวของลวดสปรงิ มีค่าเท่าใด
ในหนว่ ยนวิ ตันตอ่ เมตร
การเคล่อื นทแ่ี บบฮารม์ อนิกอย่างงา่ ย 13
7. ลูกเหลก็ ทรงกลมมวล 1 กรัม แกวง่ แบบฮาร์มอนิกอย่างง่าย มีแอมพลิจูด 2 มลิ ลิเมตร ความเร่งท่ีจดุ ปลายของการ
แกวง่ มีคา่ 8 x 103 เมตรต่อวินาที2
ก. จงหาความถขี่ องการแกวง่
ข. จงหาความเร็วท่จี ดุ สมดุล
8. จากรูปเปน็ กราฟแสดงความสัมพันธร์ ะหวา่ งคาบการแกว่งลกู ตมุ้ กบั รากท่ีสองของความยาวเชือกบนดาวดวงหนึง่
ถ้าลูกต้มุ เคลอ่ื นท่แี บบฮาร์มอนิกอยา่ งง่าย คา่ ความโนม้ ถว่ งเนอ่ื งจากดาวดวงน้ีเปน็ เท่าใด
การเคลือ่ นท่แี บบฮาร์มอนกิ อย่างงา่ ย 14
ความถ่ธี รรมชาตแิ ละการสนั่ พ้อง
ความถีธ่ รรมชาติ (natural frequency) การสัน่ พ้อง (resonance)
- คอื ความถใี่ นการแกวง่ อยา่ งอิสระของวัตถุ โดยที่ - คือ การที่วัตถุสั่นด้วยความถี่ธรรมชาติ
โดย
วัตถสุ ัน่ ด้วยความถ่ีคา่ เดิมเสมอ แอมพลิจดู ของการสัน่ มากขึ้นเรือ่ ย ๆ
- ตวั อย่าง การแกว่งของลูกต้มุ , การสั่นของมวลติด - ตวั อย่าง การแกว่งชิงชา้
สปรงิ
แบบฝกึ หดั ท่ี 4
1. จงหาความถธ่ี รรมชาติของการแกว่งของลกู ตุ้มอยา่ งงา่ ยทผ่ี ูกตดิ กบั เชอื กเบาทีม่ คี วามยาว 50 เซนติเมตร
2. จงหาความถีธ่ รรมชาตขิ องวัตถตุ ดิ ปลายสปริง เมือ่ วตั ถมุ ีมวล 0.1 กโิ ลกรมั และสปรงิ มคี า่ คงตัวของสปริง 1,000
นิวตันต่อเมตร