ในการพิจารณาว่าเหตุการณ์ที่เราสนใจมีโอกาสเกิดขึ้นมากน้อยเพียงใดนั้น สามารถทำได้ 2 วิธี ได้แก่ ซึ่งจะสมมติให้ N แทน จำนวนครั้งของการทดลองสุ่ม nแทน จำนวนครั้งของการเกิดเหตุการณ์ E ที่สนใจ และ P(E) แทน ความน่าจะเป็นของการเกิดเหตุการณ์ E ที่สนใจ พบว่า อัตราส่วน n/N จะบอกให้ทราบว่าเหตุการณ์ E
ที่สนใจ มีดอกาสเกิดขึ้นมากน้อยเพียงใด ดังนั้น P(E)= limit ของ n/N เมื่อ N เข้าสู่ infinity ซึ่งเราจะพบว่า จำนวนครั้งที่ทำการทดลองสุ่มยิ่งมากเท่าใด ก็จะได้ความน่าจะเป็นที่น่าเชื่อถือมากยิ่งขึ้นเท่านั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ ข้อกำหนด n(S) แทน จำนวนสมาชิกของแซมเปิลสเปซS ซึ่งประกอบด้วยสมาชิกที่มีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่า ๆ กัน n(E) แทน จำนวนสมาชิกของเหตุการณ์ E ซึ่งเป็นสับเซตของ S และ P(E) แทน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ E ดังนั้น P(E) = n(E) / n(S) ในอีกทางหนึ่ง ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ คือ จำนวนที่บิกให้ทราบว่าตุการณ์ที่เราสนใจมีดอกาสเกิดขึ้นมากน้อยเพียงใด กล่าวคือ ถ้า P(E) = 0 เหตุการณ์ E จะไม่มีโอกาสเกิดขึ้นเลย P(E) = 1
เหตุการณ์ E มีโอกาสเกิดขึ้นแน่นอน P(E) = 0.5 เหตุการณ์ E จะมีโอกาสเกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นได้เท่าๆ กัน
หมายเหตุ ข้อกำหนดนี้ ใช้คำนวณความน่าจะเป็นของเหตุการณ์จาดแซมเปิลสเปซที่เป็นเซตจำกัด และสมาชิกแต่ละตัว มีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆกัน
P(E1) = 0.4 และ P(E2) = 0.8 เหตุการณ์ E2 มีโอกาสเกิดขึ้นมากกว่าเหตุการณ์ E1
นั่นแสดงว่า P(E) มีค่าตั้งแต่ 0-1
ข้อสอบ
1 ในการหยิบไพ่มา 1 ใบ จากไพ่ 1 สำรับ ซึ่งมี 52 ใบ จงหาความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไพ่ใบนั้นเป็นโพดำ
วิธีทำ สมมติให้ E แทน เหตุการณ์ที่ได้ไพ่ใบนั้นเป็นโพดำ
และ S แทน แซมเปิลสเปซ
จะได้ n(E) = 13
และ n(S) = 52
จากสูตร P(E) = n(E) / n(S)
จะได้ P(E) = 13 / 52
ดังนั้น ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ได้ไพ่ใบนั้นเป็นโพดำเท่ากับ 13/52
2 ครอบครัวหนึ่งมีลูกสองคน จงหาความน่าจะเป็นของครอบครัวนั้น ถ้า
- ลูกคนแรกเป็นหญิง และลูกคนที่สองเป็นชาย
- ไม่มีลูกชายเลย
- มีลูกชายมากกว่า 1 คน
- มีลูกสาวอย่างน้อย 1 คน
- มีลูกชาย 1 คน และลูกสาว 1 คน
- มีลูกชาย 3 คน
วิธีทำ
สมมติให้ E1 แทน เหตุการณ์ที่มีลูกคนแรกเป็นหญิง และลูกคนที่สองเป็นชาย
E2 แทน เหตุการณ์ที่ไม่มีลูกชายเลย
E3 แทน เหตุการณ์ที่มีลูกชายมากกว่า 1 คน
E4 แทน เหตุการณ์ที่มีลูกสาวอย่างน้อย 1 คน
E5 แทน เหตุการณ์ที่มีลูกชาย 1 คน และลูกสาว 1 คน
E6 แทน เหตุการณ์ที่มีลูกชาย 3 คน
และ S แทน แซมเปิลสเปซ
จากโจทย์ จะได้ S = { (M, M), (M, W), (W, W), (W, M) }
แสดงว่า n(S) = 4
- E1= { (W, M) }
จะได้ n(E1) = 1
ดังนั้น P(E1) = 1/4
2. E2 = { (W, W) }
จะได้ n(E2) = 1
ดังนั้น P(E2) = 1/4
- E3= { (M, M) }
จะได้ n(E3) = 1
ดังนั้น P(E3) = 1/4
- E4= { (M, W), (W, M), (W, W) }
จะได้ n(E4) = 3
ดังนั้น P(E4) = 3/4
- E5= { (M, W), (W, M) }
จะได้ n(E5) = 2
ดังนั้น P(E5) = 2/4
- E6ไม่มี แสดงว่า ไม่มีโอกาสเกิดเหตุการณ์แบบนี้ขึ้นเลย
จะได้ n(E6) = 0
ดังนั้น P(E6) = 0
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์คือจำนวนที่แสดงให้ทราบว่าเหตุการณ์ใดเหตุการณ์หนึ่งมีโอกาสเกิดขึ้นมาก หรือน้อยเพียงใด ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใด ๆ เท่ากับอัตราส่วนของจำนวนเหตุการณ์ที่เราสนใจ (จะให้เกิดขึ้นหรือไม่เกิดขึ้นก็ได้) ต่อจำนวนผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้ ซึ่งมีสูตรในการคิดคำนวณดังนี้
เมื่อผลทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นจากการทดลองสุ่มแต่ละตัวมีโอกาสเกิดขึ้นได้เท่าๆ กัน
กำหนดให้ E แทน เหตุการณ์ที่เราสนใจ
P(E) แทน ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
n(E) แทน
จำนวนสมาชิกของเหตุการณ์
S แทน ผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้
n(S) แทน จำนวนสมาชิกของผลลัพธ์ทั้งหมดที่อาจจะเกิดขึ้นได้ ดังนั้น
คุณสมบัติของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์
1.
ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ใดๆ มีค่าตั้งแต่ 0 ถึง 1
2. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นแน่นอน เท่ากับ 1
3. ความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ที่ไม่มีโอกาสเกิดขึ้นเท่ากับ 0
ความน่าจะเป็นกับการตัดสินใจ จากการศึกษาเรื่องความน่าจะเป็นสามารถช่วยให้เรารู้ว่าเหตุการณที่พิจารณาอยู่นั้นมีโอกาสเกิดขึ้นมากน้อยเพียงใด แต่บางเหตุการณ์ความรู้ เรื่องความน่าจะเป็นเพียงอย่างเดียวอาจไม่เพียงพอที่จะช่วยเราตัดสินใจได้
จำเป็นจะต้องหาองค์ประกอบอื่นมาช่วยในการตัดสินใจด้วยซึ่งองค์ประกอบหนึ่ง คือ ผลตอบแทนของการเกิดเหตุการณ์นั้น ในทางสถิติได้นำความน่าจะเป็นของเหตุการณ์และผลตอบแทนของการเกิดเหตุการณ์นั้น พิจารณาประกอบกันเป็นค่าคาดหมาย ซึ่งหาได้จากผลรวมของผลคูณระหว่างความน่าจะเป็น ของเหตุการณ์กับผลตอบแทนของเหตุการณ์
ในชีวิตประจำวันเราอยู่กับเหตุการณ์ต่าง ๆ และมีคำถามอยู่ในใจตลอดเวลา เช่น
-
พรุ่งนี้ฝนจะตกหรือไม
- บางทีเราต้องไปทำงานวันนี้
- นายกอาจลาออกและยุปสภาเร็ว ๆ นี้
- ทีมฟุตบอลทีมใดจะได้เป็นแชมป์โลก
- ใครชนะเลือกตั้งในสมัยหน้า
คำว่า ความน่าจะเป็นหรือ probability เป็นวิธีการวัดความไม่แน่นอนในรูปแบบคณิตศาสตร
์ เช่นเมื่อโยนเหรียญความน่าจะเป็นของเหรียญที่จะออกหัวหรือก้อยเท่ากับ 0.5 ดังนั้นเหตุการณ์ต่าง
ๆที่เกิดขึ้น
ในอนาคตเป็นสิ่งที่ยากจะคาดเดาได้ถูกต้องร้อยเปอร์เซ็นต์นักอุตุนิยมวิทยาจึงใช้หลักการของความน่าจะเป็นเข้ามาทำนาย
เช่น ความน่าจะเป็นของการเกิดฝนตกใน กรุงเทพมหานคร ในวันพรุ่งนี้มีค่าเท่ากับ 0.7 ความน่าจะเป็นค่าที่อาจมี
ความหมาย ที่หลายคน เข้าใจได้ไม่ยาก ความน่าจะเป็น
เป็นศาสตร์ที่มีความละเอียดอ่อนที่จะนำไปประยุกต์ใช้ โดยเฉพาะเหตุการณ์ในชีวิตประจำ วันต่าง ๆ
ความน่าจะเป็นมีการกำหนดค่าเป็นเศษส่วนหรือเป็นเปอร์เซ็นต์หรือให้มีค่าระหว่างถึงเช่น ถ้านำลูกเต๋า ทอยลงบนพื้นโอกาสที่จะปรากฎหน้ามีค่าเท่ากับเปอร์เซนต์ ถ้าโยนเหรียญหนึ่งเหรียญ และให้ตกบนพื้น (โยนแบบยุติธรรม) โอกาสที่จะปรากฏหัวเท่ากับหรือ
ในทางคณิตศาสตร์ เราหา ค่าของความน่าจะเป็นของเหตุการณ์ซึ่ง ไม่ทราบแน่ว่าจะเกิดหรือไม่ได้ โดยพิจารณา น้ำหนัก ที่เหตุการณ์นั้นๆ จะเกิด
ถ้ากำหนดให้น้ำหนักของเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นไม่ได้มีค่าเป็น 0 น้ำหนัก ของ เหตุการณ์ที่เกิดขึ้นแน่มีค่าเป็น1และน้ำหนักของเหตุการณ์ใด ๆ ที่อาจ เกิดขึ้นมีค่าเป็นจำนวนเลขที่อยู่ระหว่าง0 กับ 1 เราจะมีตัวเลขมากมายนับ ไม่ถ้วน แสดงค่าของน้ำหนัก หรือโอกาสที่เหตุการณ์ต่าง ๆ จะเกิดขึ้นได และเรียกค่าของน้ำหนัก นี้ว่า
ค่าของความน่าจะเป็น
พิจารณาการโยนเหรียญบาทหนึ่งเหรียญ ถ้าเหรียญนั้นไม่ได้มีการถ่วง ให้หน้าใดง่ายง่ายกว่าหน้าอื่นก็เชื่อว่า
"น้ำหนัก" ของการที่เหรียญจะ หงายหน้าใดหน้าหนึ่งย่อมเท่ากัน
ผลที่เป็นไปได้ทั้งหมดมี 2 อย่าง
คือเหรียญหงายหัวหรือเหรียญหงายก้อยซึ่งอาจเกิดอย่างใดอย่างหนึ่งได้เท่าๆกัน
ผลที่เป็นไปได้ทั้งหมดมี 2 อย่าง
โอกาสที่เหรียญจะหงายหัว = 1/2
โอกาสที่เหรียญจะหงายหัว = 1/2
เรากล่าวว่า ความน่าจะเป็นที่เหรียญหงายหัวมีค่า 1/2
และความน่าจะเป็นที่เหรียญหงายก้อยมีค่า 1/2
ในการทอดลูกเต๋าลูกหนึ่ง เมื่อลูกเต๋านั้น ๆ มีหน้าใหญ่เท่า ๆกัน และไม่มีการถ่วงให้หน้าใดหงายง่ายกว่าหน้าอื่น
ก็เชื่อได้ว่า "น้ำหนัก" ของการที่ลูกเต๋าจะหงายหน้าใดหน้าหนึ่งย่อมเท่ากัน
ผลที่ลูกเต๋าจะขึ้นหน้าต่าง ๆ ทั้งหมดมี 6 อย่าง คือ อาจขึ้นหน้า หนึ่ง สอง สาม สี่ ห้า หรือหก ด้วยความน่าจะเป็น เท่า ๆ กัน คือ 1/6
พิจารณาการโยนเหรียญบาทหนึ่งเหรียญ
และเหรียญห้าบาทหนึ่งเหรียญ พร้อม ๆ กัน เหรียญย่อมหงายได้ 4
อย่าง ความน่าจะเป็นที่เหรียญใดจะหงายหัวหรือก้อยมีเท่า ๆ กัน คือ 1/2 สำหรับ แต่ละเหรียญ
เราใช้ทฤษฎีของความน่าจะเป็นคำนวณค่าของความน่าจะเป็น ได้ดังนี้
ความน่าจะเป็นที่เหรียญทั้งสองจะหงายหัว = 1/4
ความน่าจะเป็นที่เหรียญทั้งสองจะหงายก้อย = 1/4
ความน่าจะเป็นที่เหรียญหนึ่งหงายหัวกับอีก เหรียญหนึ่งหงายก้อย = 1/2
นอกจากเรื่องโยนลูกเต๋า
โยนเหรียญ จับสลาก แจกไพ่แล้ว ยัง มีเรื่องอื่น ๆ อีกมาก ที่มีผลการเกิดซึ่งบอกล่วงหน้าไม่ได้ว่าจะให้ผลอย่างไรทางคณิตศาสตร์จึงต้องใช้สัญลักษณ์มาช่วยจำลองเหตุการณ์ต่างๆ
ที่อาจ เกิดขึ้นเฉพาะเรื่อง
และอาศัยกฎเกณฑ์ของคณิตศาสตร์ในแขนงอื่น ๆ ทำให้ เกิดทฤษฎีต่าง ๆ ที่สามารถนำไปหาค่าความน่าจะเป็นของเรื่องที่เกี่ยวข้อง กับความไม่แน่นอนทั้งหลายได และสามารถใช้ค่าเหล่านี้คำนวณหาค่าอื่น ๆ ที่จะเป็นประโยชน์ในการนำไปใช้ประกอบการตัดสินใจ
เช่น ใช้ค่าของความน่าจะเป็นที่จะมีลูกค้าเข้ามาซื้อของในร้าน เพื่อหาว่าโดยเฉลี่ยจะ มีลูกค้าเข้ามาซื้อของกี่คน นักคณิตศาสตร์ชาวฝรั่งเศส เป็นผู้ให้กำเนิดเรื่องของความน่าจะเป็น เมื่อประมาณ 300 ปีมาแล้ว แต่เพิ่งจะได้มีการศึกษาโดยละเอียดและนำไปใช้เมื่อประมาณ 40 ปีมานี้เอง ปัจจุบัน เรื่องราวของความน่าจะเป็น มีความสำคัญอย่างมาก การค้นคว้า การวิจัย และการปฏิบัติงานใด ๆ ที่ เกี่ยวข้องกับการคาดคะเน จะต้องอาศัยเรื่องของความน่าจะเป็นทั้งสิ้น เช่น การเกษตร การแพทย์ เศรษฐศาสตร์ วิทยาศาสตร์และเทคโน โลยีทุกสาขา
ความน่าจะเป็นบางเรื่องใช้คณิตศาสตร์ชั้นสูงหลายวิชามาเกี่ยว โยงกัน และยังมีเรื่องต้องศึกษาค้นคว้าอีกมาก
ขอบคุณเว็บไซต์
//www.school.net.th/library/snet2/knowledge_math/prob_even.htm
//stu.wisut.org/work/pro2552/math551/pro555/