�ҡ������Һ�֧������������ǧ��� ��ѡɳз���ѵ�������ԧ����������� ������������������ǹ�� 㹵���зӡ�þԨ�óҡ�����������ǧ��� �����ѡɳз���ѵ�������ԧ����դ������������� �������Ǣͧ����������Ẻǧ��� ��ѡɳ������������� �ա������¹�ŧ��駢�Ҵ��з�ȷҧ ������Դ������觷���ͧ�� �ѧ��鹤����������ͧ�ѵ������Ѻ������������ǧ���Ẻ����������� ���繼���������ҧ�Ѻ�·��
�ٻ��� 2-8 ������ͧ�ǡ�����Ѿ��ͧ���㹡óբͧ����������Ẻǧ�����ѡɳ������������
�ѧ����ç����зӵ���ѵ��㹡óբͧ������������ǧ���Ẻ����������� �֧�繼�����ͧ�ç�������ٹ���ҧ����ç�������������ٻ��� 2-8
�ٻ��� 2-9 ������������ǧ����ͧ�١�����ѡɳ������������
(�) �ʴ��ç����зӵ���١������ m ��觻�Сͺ�����ç�֧��͡ T ��� ���˹ѡ mg(�) �ʴ��ç����зӵ���١������ m ������١���������ش�٧�ش��е���ش������ҧ˹�觷����ʹ� �� ���١������ m �١�Դ���Ѻ��͡����� R (�ٻ��� 2-9) ����١��Ŷ١���������������ǧ��� �����йҺ�ͧ������������Ǵ�� �ҡ����������쾺����ç�֧��͡������١���������ش�٧�ش���դ�ҹ��·���ش �����١�����������˹觵���ش ��Ңͧ�ç�֧��͡���դ���ҡ����ش
�ٻ��� 2-9 (�) �ʴ��ç����������зӵ���١������ m ��觻�Сͺ�����ç�֧������͡ ��й��˹ѡ
����;Ԩ�óҢ�з����͡����� θ �Ѻ�Ǵ�� �������¡���ͷ���ͧ�ͧ��ǵѹ �ç�����������¹����
����ç�����������ʹ�������ѵ���դ�����������������������¹�
��ǹ�ç�������� (�ç����ٹ���ҧ) ����ö��¹����
����;Ԩ�ó�����÷�� (2-14) ����� � �ش�٧�ش
������ç�֧��͡����դ�ҵ���ش �͡�ҡ�������;Ԩ�ó�����÷�� (2-13) �о��ա��� � �ش�٧�ش �������������������ٹ���ѧ��� �ѵ�ب֧�դ������ ���������ٹ���ҧ��ҹ�� �������;Ԩ�ó�����÷�� (2-14) � �ش����ش
������ç�֧��͡����դ���٧�ش ��С������ǡѹ ���ش����ش ����������������������ٹ�� �ѵ�ب֧�դ���������������ٹ���ҧ��ҹ�� (�ٻ��� 2-9 (�))
แรงสู่ศูนย์กลาง (จากภาษาละติน Centrum "ศูนย์" และpetere "จะแสวงหา" [1] ) เป็นแรงที่ทำให้ร่างกายเป็นไปตามโค้งเส้นทาง ทิศทางของมันมักจะตั้งฉากกับการเคลื่อนที่ของร่างกายและไปยังจุดคงที่ของศูนย์กลางความโค้งของเส้นทางในทันที ไอแซกนิวตันอธิบายว่าเป็น "แรงที่ร่างกายถูกดึงหรือผลักหรือมีแนวโน้มไปสู่จุดศูนย์กลาง" ในทางใดทางหนึ่ง [2]ในกลศาสตร์นิวตันแรงโน้มถ่วงให้แรงสู่ศูนย์กลางก่อให้เกิดดาราศาสตร์วงโคจร
ตัวอย่างทั่วไปที่เกี่ยวข้องกับแรงสู่ศูนย์กลางคือกรณีที่ร่างกายเคลื่อนที่ด้วยความเร็วสม่ำเสมอไปตามเส้นทางวงกลม แรงสู่ศูนย์กลางจะพุ่งไปที่มุมฉากกับการเคลื่อนที่และตามรัศมีไปยังจุดศูนย์กลางของเส้นทางวงกลม [3] [4]คำอธิบายทางคณิตศาสตร์ได้มาใน 1659 โดยนักฟิสิกส์ดัตช์Christiaan Huygens [5]
ขนาดของแรงสู่ศูนย์กลางบนวัตถุมวลmเคลื่อนที่ด้วยความเร็วสัมผัส vตามเส้นทางที่มีรัศมีความโค้ง rคือ: [6]
ฉค=มกค=มv2ร{\ displaystyle F_ {c} = ma_ {c} = {\ frac {mv ^ {2}} {r}}}กค=ลิมΔt→0|Δv|Δt{\ displaystyle a_ {c} = \ lim _ {\ Delta {t} \ to 0} {\ frac {| \ Delta {\ textbf {v}} |} {\ Delta {t}}}}ที่ไหน กค{\ displaystyle a_ {c}}คือความเร่งศูนย์กลางและΔv{\ displaystyle \ Delta {\ textbf {v}}}คือความแตกต่างระหว่างเวกเตอร์ความเร็ว เนื่องจากเวกเตอร์ความเร็วในแผนภาพด้านบนมีขนาดคงที่และเนื่องจากเวกเตอร์แต่ละตัวตั้งฉากกับเวกเตอร์ตำแหน่งตามลำดับการลบเวกเตอร์อย่างง่ายจึงหมายถึงรูปสามเหลี่ยมหน้าจั่วที่คล้ายกันสองรูปที่มีมุมที่เท่ากัน - อันหนึ่งประกอบไปด้วยฐานของΔv{\ displaystyle \ Delta {\ textbf {v}}}และขายาวv{\ displaystyle v}และอีกอันเป็นฐานของΔร{\ displaystyle \ Delta {\ textbf {r}}}( ความแตกต่างของเวกเตอร์ตำแหน่ง) และความยาวของขาร{\ displaystyle r}: [7]
|Δv|v=|Δร|ร{\ displaystyle {\ frac {| \ Delta {\ textbf {v}} |} {v}} = {\ frac {| \ Delta {\ textbf {r}} |} {r}}}|Δv|=vร|Δร|{\ displaystyle | \ Delta {\ textbf {v}} | = {\ frac {v} {r}} | \ Delta {\ textbf {r}} |}ดังนั้น, |Δv|{\ displaystyle | \ Delta {\ textbf {v}} |} สามารถทดแทนด้วย vร|Δร|{\ displaystyle {\ frac {v} {r}} | \ Delta {\ textbf {r}} |}: [7]
กค=ลิมΔt→0|Δv|Δt=vรลิมΔt→0|Δร|Δt=ωลิมΔt→0|Δร|Δt=vω=v2ร{\ displaystyle a_ {c} = \ lim _ {{\ Delta} t \ to 0} {\ frac {| \ Delta {\ textbf {v}} |} {\ Delta {t}}} = {\ frac { v} {r}} \ lim _ {{\ Delta} t \ to 0} {\ frac {| \ Delta {\ textbf {r}} |} {\ Delta {t}}} = \ omega \ lim _ { {\ Delta} t \ to 0} {\ frac {| \ Delta {\ textbf {r}} |} {\ Delta {t}}} = v \ omega = {\ frac {v ^ {2}} {r }}}ทิศทางของแรงจะเข้าสู่ศูนย์กลางของวงกลมที่วัตถุกำลังเคลื่อนที่หรือวงกลมที่กำลังสั่น (วงกลมที่พอดีกับเส้นทางท้องถิ่นของวัตถุมากที่สุดหากเส้นทางนั้นไม่เป็นวงกลม) [8]ความเร็วในสูตรเป็นกำลังสองดังนั้นความเร็วสองเท่าจึงต้องการแรงสี่เท่า ความสัมพันธ์ผกผันกับรัศมีความโค้งแสดงให้เห็นว่าครึ่งหนึ่งของระยะรัศมีต้องใช้แรงเป็นสองเท่า บางครั้งแรงนี้ยังเขียนในรูปของความเร็วเชิงมุม ωของวัตถุเกี่ยวกับจุดศูนย์กลางของวงกลมซึ่งเกี่ยวข้องกับความเร็วสัมผัสโดยสูตร
v=ωร{\ displaystyle v = \ โอเมก้า r}ดังนั้น
ฉค=มรω2.{\ displaystyle F_ {c} = mr \ omega ^ {2} \ ,. }แสดงโดยใช้คาบ การโคจรTสำหรับการปฏิวัติหนึ่งรอบของวงกลม
ω=2πที{\ displaystyle \ omega = {\ frac {2 \ pi} {T}} \,}สมการจะกลายเป็น
ฉค=มร(2πที)2.{\ displaystyle F_ {c} = mr \ left ({\ frac {2 \ pi} {T}} \ right) ^ {2}.}[9]ในเครื่องเร่งอนุภาคความเร็วอาจสูงมาก (ใกล้เคียงกับความเร็วแสงในสุญญากาศ) ดังนั้นมวลที่เหลือเท่าเดิมจึงออกแรงเฉื่อย (มวลเชิงสัมพันธ์) มากขึ้นดังนั้นจึงต้องใช้แรงมากขึ้นสำหรับความเร่งศูนย์กลางเท่ากันดังนั้นสมการจึงกลายเป็น: [10]
ฉค=γมv2ร{\ displaystyle F_ {c} = {\ frac {\ gamma mv ^ {2}} {r}}}ที่ไหน
γ=11-v2ค2{\ displaystyle \ gamma = {\ frac {1} {\ sqrt {1 - {\ frac {v ^ {2}} {c ^ {2}}}}}}เป็นปัจจัย Lorentz
ดังนั้นแรงสู่ศูนย์กลางจึงได้รับจาก:
ฉค=γมvω{\ displaystyle F_ {c} = \ gamma mv \ omega}ซึ่งเป็นอัตราการเปลี่ยนแปลงของโมเมนตัมเชิงสัมพัทธภาพ γมv{\ displaystyle \ gamma mv}.
ในกรณีของวัตถุที่แกว่งไปมาที่ปลายเชือกในแนวระนาบแรงสู่ศูนย์กลางบนวัตถุนั้นมาจากความตึงของเชือก ตัวอย่างเชือกเป็นตัวอย่างที่เกี่ยวข้องกับแรง "ดึง" แรงสู่ศูนย์กลางนอกจากนี้ยังสามารถจัดเป็น 'ดัน' แรงเช่นในกรณีที่เกิดปฏิกิริยาปกติของผนังวัสดุแรงสู่ศูนย์กลางสำหรับผนังของการตายของไรเดอร์
นิวตันคิด 's ของแรงสู่ศูนย์กลางสอดคล้องกับสิ่งที่เรียกในปัจจุบันเพื่อเป็นแรงกลาง เมื่อดาวเทียมอยู่ในวงโคจรรอบดาวเคราะห์แรงโน้มถ่วงถือเป็นแรงสู่ศูนย์กลางแม้ว่าในกรณีของวงโคจรที่ผิดปกติแรงโน้มถ่วงจะพุ่งไปที่โฟกัสและไม่เข้าสู่จุดศูนย์กลางของความโค้งในทันที [11]
อีกตัวอย่างหนึ่งของแรงสู่ศูนย์กลางเกิดขึ้นในเกลียวที่ถูกตรวจจับเมื่ออนุภาคที่มีประจุเคลื่อนที่ในสนามแม่เหล็กสม่ำเสมอในกรณีที่ไม่มีแรงภายนอกอื่น ๆ ในกรณีนี้แรงแม่เหล็กคือแรงสู่ศูนย์กลางที่กระทำต่อแกนเกลียว
ด้านล่างนี้คือสามตัวอย่างของความซับซ้อนที่เพิ่มขึ้นโดยมีที่มาของสูตรที่ควบคุมความเร็วและความเร่ง
การเคลื่อนที่เป็นวงกลมสม่ำเสมอ
การเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอหมายถึงกรณีของอัตราการหมุนคงที่ นี่คือสองวิธีในการอธิบายกรณีนี้
อนุพันธ์ของแคลคูลัส
ในสองมิติเวกเตอร์ตำแหน่ง ร{\ displaystyle {\ textbf {r}}}ซึ่งมีขนาด (ความยาว) ร{\ displaystyle r} และพุ่งไปที่มุมหนึ่ง θ{\ displaystyle \ theta}เหนือแกน x สามารถแสดงในพิกัดคาร์ทีเซียนโดยใช้เวกเตอร์หน่วย x^{\ displaystyle {\ hat {x}}} และ ย^{\ displaystyle {\ hat {y}}}: [12]
ร=รcos(θ)x^+รบาป(θ)ย^.{\ displaystyle {\ textbf {r}} = r \ cos (\ theta) {\ hat {x}} + r \ sin (\ theta) {\ hat {y}}}สมมติว่าการเคลื่อนที่เป็นวงกลมสม่ำเสมอซึ่งต้องใช้สามสิ่ง
- วัตถุเคลื่อนที่เป็นวงกลมเท่านั้น
- รัศมีของวงกลม ร{\ displaystyle r} ไม่เปลี่ยนแปลงในเวลา
- วัตถุเคลื่อนที่ด้วยความเร็วเชิงมุมคงที่ ω{\ displaystyle \ omega}รอบ ๆ วงกลม ดังนั้น,θ=ωt{\ displaystyle \ theta = \ โอเมก้า t} ที่ไหน t{\ displaystyle t} เป็นเวลา
ตอนนี้หาความเร็ว v{\ displaystyle {\ textbf {v}}}และการเร่งความเร็ว ก{\ displaystyle {\ textbf {a}}} ของการเคลื่อนไหวโดยการหาอนุพันธ์ของตำแหน่งตามเวลา
ร=รcos(ωt)x^+รบาป(ωt)ย^{\ displaystyle {\ textbf {r}} = r \ cos (\ omega t) {\ hat {x}} + r \ sin (\ omega t) {\ hat {y}}}ร˙=v=-รωบาป(ωt)x^+รωcos(ωt)ย^{\ displaystyle {\ dot {\ textbf {r}}} = {\ textbf {v}} = - r \ omega \ sin (\ omega t) {\ hat {x}} + r \ omega \ cos (\ omega เสื้อ) {\ hat {y}}}ร¨=ก=-รω2cos(ωt)x^-รω2บาป(ωt)ย^{\ displaystyle {\ ddot {\ textbf {r}}} = {\ textbf {a}} = - r \ omega ^ {2} \ cos (\ omega t) {\ hat {x}} - r \ omega ^ {2} \ sin (\ omega t) {\ hat {y}}}ก=-ω2(รcos(ωt)x^+รบาป(ωt)ย^){\ displaystyle {\ textbf {a}} = - \ omega ^ {2} (r \ cos (\ omega t) {\ hat {x}} + r \ sin (\ omega t) {\ hat {y}} )}สังเกตว่าคำในวงเล็บคือนิพจน์ดั้งเดิมของ ร{\ displaystyle {\ textbf {r}}}ในพิกัดคาร์ทีเซียน ด้วยเหตุนี้
ก=-ω2ร.{\ displaystyle {\ textbf {a}} = - \ omega ^ {2} {\ textbf {r}}}เชิงลบแสดงให้เห็นว่าความเร่งชี้ไปที่ศูนย์กลางของวงกลม (ตรงข้ามกับรัศมี) จึงเรียกว่า "ศูนย์กลาง" (เช่น "หาศูนย์กลาง") ในขณะที่วัตถุเป็นไปตามธรรมชาติตามเส้นทางตรง (เนื่องจากความเฉื่อย ) การเร่งความเร็วของศูนย์กลางนี้อธิบายถึงเส้นทางการเคลื่อนที่แบบวงกลมที่เกิดจากแรงสู่ศูนย์กลาง
การหาที่มาโดยใช้เวกเตอร์
ความสัมพันธ์ของเวกเตอร์สำหรับการเคลื่อนที่เป็นวงกลมสม่ำเสมอ เวกเตอร์ Ωเป็นตัวแทนของการหมุนเป็นปกติกับระนาบของวงโคจรที่มีขั้วกำหนดโดย กฎขวามือและขนาด dθ / dt
ภาพด้านขวาแสดงความสัมพันธ์ของเวกเตอร์สำหรับการเคลื่อนที่เป็นวงกลมสม่ำเสมอ การหมุนนั้นแสดงด้วยเวกเตอร์ความเร็วเชิงมุมΩซึ่งเป็นเรื่องปกติของระนาบของวงโคจร (โดยใช้กฎทางขวามือ ) และมีขนาดที่กำหนดโดย:
|Ω|=งθงt=ω ,{\ displaystyle | \ mathbf {\ Omega} | = {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} = \ omega \,}กับθตำแหน่งเชิงมุมในเวลาที ในส่วนย่อยนี้ d θ / d tจะถือว่าเป็นค่าคงที่โดยไม่ขึ้นกับเวลา ระยะทางที่เดินทางdℓของอนุภาคในเวลา d tตามเส้นทางวงกลมคือ
งℓ=Ω×ร(t)งt ,{\ displaystyle \ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ ell}} = \ mathbf {\ Omega} \ times \ mathbf {r} (t) \ mathrm {d} t \,}ซึ่งโดยคุณสมบัติของผลิตภัณฑ์ข้ามเวกเตอร์มีขนาดr d θและอยู่ในทิศทางที่สัมผัสกับเส้นทางวงกลม
ด้วยเหตุนี้
งรงt=ลิมΔt→0ร(t+Δt)-ร(t)Δt=งℓงt .{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} t}} = \ lim _ {{\ Delta} t \ to 0} {\ frac {\ mathbf {r} (t + {\ Delta} t) - \ mathbf {r} (t)} {{\ Delta} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} {\ boldsymbol {\ ell}}} {\ mathrm {d } t}} \.}กล่าวอีกนัยหนึ่ง
v =งจฉ งรงt=งℓงt=Ω×ร(t) .{\ displaystyle \ mathbf {v} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r}} {\ mathrm {d} t}} = { \ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {\ boldsymbol {\ ell}}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {\ Omega} \ times \ mathbf {r} (t) \.}ความแตกต่างตามกาลเวลา
ก =งจฉ งvงt=Ω×งร(t)งt=Ω×[Ω×ร(t)] .{\ displaystyle \ mathbf {a} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {v}} {d \ mathrm {t}}} = \ mathbf {\ Omega} \ times {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {r} (t)} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {\ Omega} \ times \ left [\ mathbf {\ โอเมก้า} \ times \ mathbf {r} (t) \ right] \.}สูตรของ Lagrangeระบุ:
ก×(ข×ค)=ข(ก⋅ค)-ค(ก⋅ข) .{\ displaystyle \ mathbf {a} \ times \ left (\ mathbf {b} \ times \ mathbf {c} \ right) = \ mathbf {b} \ left (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {c} \ ขวา) - \ mathbf {c} \ left (\ mathbf {a} \ cdot \ mathbf {b} \ right) \.}ใช้สูตรของ Lagrange โดยสังเกตว่าΩ• r ( t ) = 0 ตลอดเวลา
ก=-|Ω|2ร(t) .{\ displaystyle \ mathbf {a} = - {| \ mathbf {\ Omega |}} ^ {2} \ mathbf {r} (t) \.}กล่าวคือความเร่งจะชี้ตรงตรงข้ามกับการกระจัดในแนวรัศมีrตลอดเวลาและมีขนาด:
|ก|=|ร(t)|(งθงt)2=รω2 {\ displaystyle | \ mathbf {a} | = | \ mathbf {r} (t) | \ left ({\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} \ right) ^ { 2} = r {\ โอเมก้า} ^ {2} \}โดยที่แถบแนวตั้ง | ... | แสดงขนาดเวกเตอร์ซึ่งในกรณีของr ( t ) เป็นเพียงรัศมีrของเส้นทาง ผลลัพธ์นี้สอดคล้องกับส่วนก่อนหน้าแม้ว่าสัญกรณ์จะแตกต่างกันเล็กน้อย
เมื่ออัตราการหมุนคงที่ในการวิเคราะห์การเคลื่อนที่แบบวงกลมที่ไม่สม่ำเสมอการวิเคราะห์นั้นจะเห็นด้วยกับการวิเคราะห์นี้
ข้อดีของวิธีเวกเตอร์คือมันเป็นอิสระจากระบบพิกัดใด ๆ อย่างชัดเจน
ตัวอย่าง: เทิร์นที่แถ
แผงด้านบน: ลูกบอลบนรางกลมที่เคลื่อนที่ด้วยความเร็วคงที่ v ; แผงด้านล่าง: กองกำลังบนลูกบอล
แผงด้านบนของภาพทางด้านขวาแสดงลูกบอลที่เคลื่อนที่เป็นวงกลมบนเส้นโค้งที่เอียง เส้นโค้งเอียงเป็นมุมθจากแนวนอนและถือว่าพื้นผิวถนนลื่น มีวัตถุประสงค์เพื่อค้นหาว่าจะต้องมีมุมใดเพื่อให้ลูกบอลไม่ไถลออกนอกถนน [13]สัญชาตญาณบอกเราว่าบนทางโค้งที่ราบเรียบโดยไม่มีธนาคารเลยลูกบอลจะไถลออกจากถนน ในขณะที่มีตลิ่งที่สูงชันมากลูกบอลจะเลื่อนไปตรงกลางเว้นแต่ว่าจะเคลื่อนที่เข้าโค้งอย่างรวดเร็ว
นอกเหนือจากการเร่งความเร็วใด ๆ ที่อาจเกิดขึ้นในทิศทางของเส้นทางแล้วแผงด้านล่างของภาพด้านบนยังระบุแรงบนลูกบอล มีสองกองกำลัง; หนึ่งเป็นแรงโน้มถ่วงของโลกในแนวตั้งลงผ่านจุดศูนย์กลางมวลของลูกมก.ที่ม.คือมวลของลูกและกรัมเป็นอัตราเร่งแรงโน้มถ่วง ; สองคือขึ้นปกติแรงกระทำโดยถนนที่มุมขวากับพื้นผิวถนนม n แรงสู่ศูนย์กลางที่เรียกร้องจากการเคลื่อนที่แบบโค้งแสดงไว้ด้านบนด้วย นี้แรงสู่ศูนย์กลางไม่ได้เป็นแรงที่สามนำไปใช้กับลูก แต่ต้องให้โดยแรงสุทธิที่ลูกที่เกิดจากการนอกจากเวกเตอร์ของแรงปกติและแรงโน้มถ่วง ผลลัพธ์หรือแรงสุทธิบนลูกบอลที่พบโดยการบวกเวกเตอร์ของแรงปกติที่กระทำโดยถนนและแรงในแนวดิ่งเนื่องจากแรงโน้มถ่วงจะต้องเท่ากับแรงสู่ศูนย์กลางที่กำหนดโดยความจำเป็นในการเดินทางเป็นวงกลม การเคลื่อนที่แบบโค้งจะคงอยู่ตราบเท่าที่แรงสุทธินี้ให้แรงสู่ศูนย์กลางที่จำเป็นต่อการเคลื่อนที่
แรงสุทธิแนวนอนบนลูกบอลเป็นส่วนประกอบแนวนอนของแรงจากถนนซึ่งมีขนาด | F h | = ม. | a n | บาปθ . ส่วนประกอบแนวตั้งของแรงจากถนนต้องต่อต้านแรงโน้มถ่วง: | F v | = ม. | กn | cos θ = m | g | ซึ่งหมายถึง | a n | = | g | / cos θ . แทนที่เป็นสูตรข้างต้นสำหรับ | F h | ให้แรงแนวนอนเป็น:
|ฉซ|=ม|ก|sผมn θคos θ=ม|ก|tกn θ .{\ displaystyle | \ mathbf {F} _ {\ mathrm {h}} | = m | \ mathbf {g} | {\ frac {\ mathrm {sin} \ \ theta} {\ mathrm {cos} \ \ theta} } = m | \ mathbf {g} | \ mathrm {tan} \ \ theta \.}ในทางกลับกันด้วยความเร็ว | v | บนเส้นทางวงกลมของรัศมีrจลนศาสตร์กล่าวว่าแรงที่จำเป็นในการหมุนลูกบอลอย่างต่อเนื่องในการเลี้ยวคือแรงสู่ศูนย์กลางเข้าด้านในรัศมีF cของขนาด:
|ฉค|=ม|กค|=ม|v|2ร .{\ displaystyle | \ mathbf {F} _ {\ mathrm {c}} | = m | \ mathbf {a} _ {\ mathrm {c}} | = {\ frac {m | \ mathbf {v} | ^ { 2}} {r}} \.}ดังนั้นลูกบอลจึงอยู่ในเส้นทางที่มั่นคงเมื่อกำหนดมุมของถนนให้เป็นไปตามเงื่อนไข:
ม|ก|tกn θ=ม|v|2ร ,{\ displaystyle m | \ mathbf {g} | \ mathrm {tan} \ theta = {\ frac {m | \ mathbf {v} | ^ {2}} {r}} \,}หรือ,
tกn θ=|v|2|ก|ร .{\ displaystyle \ mathrm {tan} \ theta = {\ frac {| \ mathbf {v} | ^ {2}} {| \ mathbf {g} | r}} \.}ในฐานะที่เป็นมุมของธนาคารθแนวทาง 90 °ที่ฟังก์ชั่นสัมผัสวิธีอินฟินิตี้ที่ช่วยให้ค่าขนาดใหญ่ | v | 2 / ร . กล่าวคือสมการนี้ระบุว่าสำหรับความเร็วที่มากขึ้น (ใหญ่กว่า | v |) ถนนจะต้องลาดชันมากขึ้น (ค่าที่มากกว่าสำหรับθ ) และสำหรับการเลี้ยวที่คมขึ้น ( rเล็กลง) ถนนจะต้องลาดชันมากขึ้นซึ่งสอดคล้องกับ ด้วยสัญชาตญาณ เมื่อมุมθไม่เป็นไปตามเงื่อนไขข้างต้นส่วนประกอบแนวนอนของแรงที่กระทำโดยถนนจะไม่ให้แรงสู่ศูนย์กลางที่ถูกต้องและมีการเรียกแรงเสียดทานเพิ่มเติมที่สัมผัสกับพื้นผิวถนนเพื่อให้เกิดความแตกต่าง หากแรงเสียดทานไม่สามารถทำสิ่งนี้ได้ (นั่นคือเกินสัมประสิทธิ์แรงเสียดทาน ) ลูกบอลจะเลื่อนไปยังรัศมีที่แตกต่างกันซึ่งสามารถรับรู้ถึงความสมดุลได้ [14] [15]
แนวคิดเหล่านี้ใช้กับเที่ยวบินทางอากาศเช่นกัน ดูคู่มือนักบินของ FAA [16]
การเคลื่อนที่แบบวงกลมไม่สม่ำเสมอ
ความเร็วและความเร่งสำหรับการเคลื่อนที่แบบวงกลมที่ไม่สม่ำเสมอ: เวกเตอร์ความเร็วเป็นสัมผัสกับวงโคจร แต่เวกเตอร์ความเร่งไม่ได้เข้าด้านในในแนวรัศมีเนื่องจากส่วนประกอบสัมผัสของมัน เป็นθที่เพิ่มอัตราการหมุน: d ω / dt = | กθ | / R
ในฐานะที่เป็นลักษณะทั่วไปของกรณีการเคลื่อนที่แบบวงกลมสม่ำเสมอสมมติว่าอัตราการหมุนเชิงมุมไม่คงที่ ตอนนี้ความเร่งมีองค์ประกอบสัมผัสดังที่แสดงในภาพด้านขวา กรณีนี้จะใช้เพื่อแสดงให้เห็นถึงกลยุทธ์ที่มาอยู่บนพื้นฐานของระบบพิกัดเชิงขั้ว
ให้r ( t ) เป็นเวกเตอร์ที่อธิบายตำแหน่งของมวลจุดเป็นฟังก์ชันของเวลา เนื่องจากเราสมมติว่าการเคลื่อนที่เป็นวงกลมให้r ( t ) = R · u rโดยที่Rเป็นค่าคงที่ (รัศมีของวงกลม) และu rคือเวกเตอร์หน่วยที่ชี้จากจุดกำเนิดไปยังมวลจุด ทิศทางของu rอธิบายโดยθมุมระหว่างแกน x และเวกเตอร์หน่วยวัดทวนเข็มนาฬิกาจากแกน x เวกเตอร์หน่วยงานอื่นพิกัดขั้วโลกยูθจะตั้งฉากกับU rและจุดในทิศทางของการเพิ่มθ เวกเตอร์หน่วยขั้วเหล่านี้สามารถแสดงในรูปของเวกเตอร์หน่วยคาร์ทีเซียนในทิศทางxและyแสดงว่าiและjตามลำดับ: [17]
คุณr = cos θ i + sin θ jและ
คุณθ = -sin θ i + cos θ j .เราสามารถแยกความแตกต่างเพื่อค้นหาความเร็ว:
v=รงยูรงt=รงงt(คos θ ผม+sผมn θ ญ){\ displaystyle \ mathbf {v} = r {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {u} _ {\ mathrm {r}}} {\ mathrm {d} t}} = r {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left (\ mathrm {cos} \ theta \ \ mathbf {i} + \ mathrm {sin} \ \ theta \ Mathbf {j} \ right)}=รงθงt(-sผมn θ ผม+คos θ ญ){\ displaystyle = r {\ frac {d \ theta} {dt}} \ left (- \ mathrm {sin} \ theta \ \ mathbf {i} + \ mathrm {cos} \ theta \ \ mathbf {j} \ขวา)\,}=รงθงtยูθ{\ displaystyle = r {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} \ mathbf {u} _ {\ mathrm {\ theta}} \,}=ωรยูθ{\ displaystyle = \ omega r \ mathbf {u} _ {\ mathrm {\ theta}} \,}ที่ωเป็นเชิงมุมความเร็ว d θ d / T
ผลที่ได้นี้ความเร็วตรงกับความคาดหวังว่าความเร็วควรถูกนำไปสัมผัสวงกลมและที่สำคัญของความเร็วที่ควรจะrω สร้างความแตกต่างอีกครั้งและสังเกตว่า
งยูθงt=-งθงtยูร=-ωยูร ,{\ displaystyle {{\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {u} _ {\ mathrm {\ theta}}} {\ mathrm {d} t}} = - {\ frac {\ mathrm {d} \ theta } {\ mathrm {d} t}} \ mathbf {u} _ {\ mathrm {r}} = - \ omega \ mathbf {u} _ {\ mathrm {r}}} \,}เราพบว่าความเร่งaคือ:
ก=ร(งωงtยูθ-ω2ยูร) .{\ displaystyle \ mathbf {a} = r \ left ({\ frac {\ mathrm {d} \ omega} {\ mathrm {d} t}} \ mathbf {u} _ {\ mathrm {\ theta}} - \ โอเมก้า ^ {2} \ mathbf {u} _ {\ mathrm {r}} \ right) \.}ดังนั้นส่วนประกอบในแนวรัศมีและเส้นสัมผัสของความเร่งคือ:
กร=-ω2ร ยูร=-|v|2ร ยูร {\ displaystyle \ mathbf {a} _ {\ mathrm {r}} = - \ omega ^ {2} r \ \ mathbf {u} _ {\ mathrm {r}} = - {\ frac {| \ mathbf {v } | ^ {2}} {r}} \ \ mathbf {u} _ {\ mathrm {r}} \} และ กθ=ร งωงt ยูθ=ง|v|งt ยูθ ,{\ displaystyle \ \ mathbf {a} _ {\ mathrm {\ theta}} = r \ {\ frac {\ mathrm {d} \ omega} {\ mathrm {d} t}} \ \ mathbf {u} _ { \ mathrm {\ theta}} = {\ frac {\ mathrm {d} | \ mathbf {v} |} {\ mathrm {d} t}} \ \ mathbf {u} _ {\ mathrm {\ theta}} \ ,}ที่ไหน | v | = r ωคือขนาดของความเร็ว (ความเร็ว)
สมการเหล่านี้แสดงในทางคณิตศาสตร์ว่าในกรณีของวัตถุที่เคลื่อนที่ไปตามเส้นทางวงกลมด้วยความเร็วที่เปลี่ยนแปลงความเร่งของร่างกายอาจถูกย่อยสลายเป็นส่วนประกอบที่ตั้งฉากซึ่งเปลี่ยนทิศทางการเคลื่อนที่ (ความเร่งศูนย์กลาง) และขนานกัน หรือส่วนประกอบสัมผัสที่เปลี่ยนความเร็ว
การเคลื่อนที่แบบระนาบทั่วไป
เวกเตอร์ความเร็ว vแทนเจนต์กับเส้นทางการเคลื่อนที่เสมอ
เวกเตอร์ความเร่ง aไม่ขนานกับการเคลื่อนที่ในแนวรัศมี แต่ชดเชยด้วยความเร่งเชิงมุมและโคริโอลิสหรือแทนเจนต์กับเส้นทาง แต่หักล้างด้วยความเร่งศูนย์กลางและรัศมี
เวกเตอร์จลนศาสตร์ในพิกัดเชิงขั้วของระนาบ สังเกตว่าการตั้งค่าไม่ได้ จำกัด ไว้ที่พื้นที่ 2 มิติ แต่เป็นระนาบในมิติที่สูงกว่า
เวกเตอร์หน่วยขั้วที่สอง คูณ tและ t + dtสำหรับอนุภาคที่มีวิถี r ( t ); ทางด้านซ้ายเวกเตอร์หน่วย u ρและ u θทั้งสองครั้งจะถูกย้ายเพื่อให้หางของพวกมันทั้งหมดมาบรรจบกันและแสดงให้เห็นว่าติดตามส่วนโค้งของวงกลมรัศมีหน่วย การหมุนตามเวลา dtคือ d θเพียงมุมเดียวกับการหมุนของวิถี r ( t )
พิกัดเชิงขั้ว
ผลลัพธ์ข้างต้นอาจได้มาจากพิกัดเชิงขั้วและในขณะเดียวกันก็ขยายไปสู่การเคลื่อนที่ทั่วไปภายในระนาบดังที่แสดงต่อไป พิกัดเชิงขั้วในระนาบใช้เวกเตอร์หน่วยรัศมีu ρและเวกเตอร์หน่วยเชิงมุมu θดังที่แสดงไว้ด้านบน [18]อนุภาคที่ตำแหน่งrอธิบายโดย:
ร=ρยูρ ,{\ displaystyle \ mathbf {r} = \ rho \ mathbf {u} _ {\ rho} \,}โดยที่สัญกรณ์ρใช้เพื่ออธิบายระยะทางของเส้นทางจากจุดกำเนิดแทนที่จะเป็นRเพื่อเน้นว่าระยะทางนี้ไม่ได้รับการแก้ไข แต่จะแปรผันตามเวลา เวกเตอร์หน่วยu ρเคลื่อนที่ไปพร้อมกับอนุภาคและชี้ไปในทิศทางเดียวกับr ( t ) เสมอ เวกเตอร์หน่วยยูθยังเดินทางไปกับอนุภาคและการเข้าพักฉากกับยู ρ ดังนั้นu ρและu θจึงสร้างระบบพิกัดคาร์ทีเซียนท้องถิ่นที่ติดกับอนุภาคและเชื่อมโยงกับเส้นทางที่อนุภาคนั้นเดินทาง [19]โดยการย้ายเวกเตอร์หน่วยเพื่อให้หางของมันตรงกันดังที่เห็นในวงกลมทางด้านซ้ายของภาพด้านบนจะเห็นว่าu ρและu θเป็นคู่ที่ทำมุมฉากโดยมีเคล็ดลับบนวงกลมหน่วยที่ย้อนกลับ และออกมาบนเส้นรอบวงของวงกลมนี้ด้วยมุมเดียวกันθ ( t ) กับr ( t )
เมื่ออนุภาคเคลื่อนที่ความเร็วของมันคือ
v=งρงtยูρ+ρงยูρงt .{\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t}} \ mathbf {u} _ {\ rho} + \ rho {\ frac {\ mathrm { d} \ mathbf {u} _ {\ rho}} {\ mathrm {d} t}} \.}เพื่อประเมินความเร็วอนุพันธ์ของหน่วยเวกเตอร์ยูρเป็นสิ่งจำเป็น เนื่องจากu ρเป็นเวกเตอร์หน่วยขนาดของมันจึงคงที่และสามารถเปลี่ยนทิศทางได้เท่านั้นนั่นคือการเปลี่ยนแปลง d u ρมีส่วนประกอบที่ตั้งฉากกับu ρเท่านั้น เมื่อวิถีr ( t ) หมุนจำนวน d θ , u ρซึ่งชี้ไปในทิศทางเดียวกับr ( t ) ก็จะหมุนด้วย d θเช่นกัน ดูภาพด้านบน ดังนั้นการเปลี่ยนแปลงของu ρคือ
งยูρ=ยูθงθ ,{\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {u} _ {\ rho} = \ mathbf {u} _ {\ theta} \ mathrm {d} \ theta \,}หรือ
งยูρงt=ยูθงθงt .{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {u} _ {\ rho}} {\ mathrm {d} t}} = \ mathbf {u} _ {\ theta} {\ frac {\ mathrm { d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} \.}ในทำนองเดียวกันอัตราการเปลี่ยนแปลงของu θพบ เช่นเดียวกับยูρ , ยูθเป็นเวกเตอร์หน่วยและสามารถหมุนได้โดยไม่ต้องเปลี่ยนขนาด เพื่อให้ยังคงเป็นมุมฉากกับu ρในขณะที่วิถีr ( t ) หมุนจำนวน d θ , u θซึ่งตั้งฉากกับr ( t ) ก็หมุนด้วย d θเช่นกัน ดูภาพด้านบน ดังนั้นการเปลี่ยนแปลง d u θจึงตั้งฉากกับu θและเป็นสัดส่วนกับ d θ (ดูภาพด้านบน):
งยูθงt=-งθงtยูρ .{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {u} _ {\ theta}} {\ mathrm {d} t}} = - {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm { d} t}} \ mathbf {u} _ {\ rho} \.}ภาพด้านบนแสดงเครื่องหมายเป็นลบ: เพื่อรักษาความเป็นมุมฉากถ้า d u ρเป็นบวกกับ d θแล้ว d u θจะต้องลดลง
การแทนที่อนุพันธ์ของu ρในนิพจน์สำหรับความเร็ว:
v=งρงtยูρ+ρยูθงθงt=vρยูρ+vθยูθ=vρ+vθ .{\ displaystyle \ mathbf {v} = {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t}} \ mathbf {u} _ {\ rho} + \ rho \ mathbf {u} _ { \ theta} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} = v _ {\ rho} \ mathbf {u} _ {\ rho} + v _ {\ theta} \ mathbf {u } _ {\ theta} = \ mathbf {v} _ {\ rho} + \ mathbf {v} _ {\ theta} \.}เพื่อให้ได้ความเร่งจะมีการสร้างความแตกต่างอีกครั้ง:
ก=ง2ρงt2ยูρ+งρงtงยูρงt+งρงtยูθงθงt+ρงยูθงtงθงt+ρยูθง2θงt2 .{\ displaystyle \ mathbf {a} = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ rho} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ mathbf {u} _ {\ rho} + { \ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {u} _ {\ rho}} {\ mathrm {d} t}} + {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t}} \ mathbf {u} _ {\ theta} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t }} + \ rho {\ frac {\ mathrm {d} \ mathbf {u} _ {\ theta}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm { d} t}} + \ rho \ mathbf {u} _ {\ theta} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ theta} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \.}การแทนที่อนุพันธ์ของu ρและu θความเร่งของอนุภาคคือ: [20]
ก=ง2ρงt2ยูρ+2งρงtยูθงθงt-ρยูρ(งθงt)2+ρยูθง2θงt2 ,{\ displaystyle \ mathbf {a} = {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ rho} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ mathbf {u} _ {\ rho} +2 {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t}} \ mathbf {u} _ {\ theta} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t }} - \ rho \ mathbf {u} _ {\ rho} \ left ({\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} \ right) ^ {2} + \ rho \ Mathbf {u} _ {\ theta} {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ theta} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \,}=ยูρ[ง2ρงt2-ρ(งθงt)2]+ยูθ[2งρงtงθงt+ρง2θงt2] {\ displaystyle = \ mathbf {u} _ {\ rho} \ left [{\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ rho} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} - \ rho \ ซ้าย ({\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} \ right) ^ {2} \ right] + \ mathbf {u} _ {\ theta} \ left [2 {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} + \ rho {\ frac {\ mathrm { ง} ^ {2} \ theta} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ right] \}=ยูρ[งvρงt-vθ2ρ]+ยูθ[2ρvρvθ+ρงงtvθρ] .{\ displaystyle = \ mathbf {u} _ {\ rho} \ left [{\ frac {\ mathrm {d} v _ {\ rho}} {\ mathrm {d} t}} - {\ frac {v _ {\ theta } ^ {2}} {\ rho}} \ right] + \ mathbf {u} _ {\ theta} \ left [{\ frac {2} {\ rho}} v _ {\ rho} v _ {\ theta} + \ rho {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} {\ frac {v _ {\ theta}} {\ rho}} \ right] \.}ตัวอย่างเช่นถ้าอนุภาคเคลื่อนที่เป็นวงกลมที่มีรัศมีคงที่Rดังนั้น d ρ / d t = 0, v = v θและ:
ก=ยูρ[-ρ(งθงt)2]+ยูθ[ρง2θงt2] {\ displaystyle \ mathbf {a} = \ mathbf {u} _ {\ rho} \ left [- \ rho \ left ({\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} \ ขวา) ^ {2} \ right] + \ mathbf {u} _ {\ theta} \ left [\ rho {\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} \ theta} {\ mathrm {d} t ^ { 2}}} \ right] \}=ยูρ[-v2ร]+ยูθ[งvงt] {\ displaystyle = \ mathbf {u} _ {\ rho} \ left [- {\ frac {v ^ {2}} {r}} \ right] + \ mathbf {u} _ {\ theta} \ left [{ \ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t}} \ right] \}ที่ไหน v=vθ.{\ displaystyle v = v _ {\ theta}.}
ผลลัพธ์เหล่านี้เห็นด้วยกับผลลัพธ์ข้างต้นสำหรับการเคลื่อนที่เป็นวงกลมแบบไม่สม่ำเสมอ ดูเพิ่มเติมบทความเกี่ยวกับการเคลื่อนที่แบบวงกลมไม่สม่ำเสมอ หากเร่งนี้จะคูณด้วยมวลของอนุภาคในระยะที่เป็นผู้นำแรงสู่ศูนย์กลางและลบของระยะที่สองเกี่ยวข้องกับการเร่งความเร็วเชิงมุมบางครั้งเรียกว่าแรงออยเลอร์ [21]
สำหรับวิถีอื่นที่ไม่ใช่การเคลื่อนที่แบบวงกลมตัวอย่างเช่นวิถีการเคลื่อนที่ทั่วไปในภาพด้านบนจุดศูนย์กลางของการหมุนทันทีและรัศมีความโค้งของวิถีมีความสัมพันธ์ทางอ้อมกับระบบพิกัดที่กำหนดโดยu ρและu θและกับ ความยาว | r ( t ) | = ρ . ดังนั้นในกรณีทั่วไปจึงไม่ตรงไปตรงมาที่จะแยกคำศัพท์ของศูนย์และออยเลอร์ออกจากสมการความเร่งทั่วไปข้างต้น [22] [23]เพื่อจัดการกับปัญหานี้โดยตรงควรใช้พิกัดท้องถิ่นตามที่จะกล่าวต่อไป
พิกัดท้องถิ่น
ระบบพิกัดท้องถิ่นสำหรับการเคลื่อนที่แบบระนาบบนเส้นโค้ง ตำแหน่งที่แตกต่างกันสองตำแหน่งจะแสดงสำหรับระยะทาง sและ s + dตามแนวโค้ง ในแต่ละตำแหน่ง sเวกเตอร์หน่วย u nชี้ไปทางด้านนอกปกติถึงเส้นโค้งและเวกเตอร์หน่วย u tเป็นเส้นสัมผัสกับเส้นทาง รัศมีของความโค้งของเส้นทางเป็นρที่พบจากอัตราการหมุนของเส้นสัมผัสเส้นโค้งที่เกี่ยวกับความยาวส่วนโค้งและเป็นรัศมีของ วงกลม osculatingที่ตำแหน่ง s วงกลมหน่วยในการแสดงซ้ายหมุนของเวกเตอร์หนึ่งหน่วยที่มี s
พิกัดท้องถิ่นหมายถึงชุดพิกัดที่เดินทางไปพร้อมกับอนุภาค[24]และมีการวางแนวที่กำหนดโดยเส้นทางของอนุภาค [25]เวกเตอร์หน่วยถูกสร้างขึ้นตามที่แสดงในภาพทางด้านขวาทั้งสัมผัสและแบบปกติไปยังเส้นทาง ระบบพิกัดนี้บางครั้งเรียกว่าพิกัดภายในหรือพา ธ[26] [27]หรือพิกัด ntสำหรับเส้นสัมผัสปกติหมายถึงเวกเตอร์หน่วยเหล่านี้ พิกัดเหล่านี้เป็นตัวอย่างที่พิเศษมากของแนวคิดทั่วไปของพิกัดท้องถิ่นจากทฤษฎีรูปแบบดิฟเฟอเรนเชียล [28]
ระยะทางตามเส้นทางของอนุภาคคือความยาวส่วนโค้งsซึ่งถือว่าเป็นฟังก์ชันที่ทราบกันดีของเวลา
s=s(t) .{\ displaystyle s = s (t) \.}จุดศูนย์กลางของความโค้งถูกกำหนดไว้ในแต่ละตำแหน่งsซึ่งอยู่ห่างออกไปρ ( รัศมีความโค้ง ) จากเส้นโค้งบนเส้นตามแนวu n ( s ) ปกติ ระยะทางที่ต้องการρ ( s ) ที่ความยาวส่วนโค้งsถูกกำหนดในรูปของอัตราการหมุนของสัมผัสกับเส้นโค้งซึ่งจะถูกกำหนดโดยเส้นทางนั้นเอง หากการวางแนวของแทนเจนต์เทียบกับตำแหน่งเริ่มต้นบางตำแหน่งคือθ ( s ) ดังนั้นρ ( s ) จะถูกกำหนดโดยอนุพันธ์ d θ / d s :
1ρ(s)=κ(s)=งθงs .{\ displaystyle {\ frac {1} {\ rho (s)}} = \ kappa (s) = {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} s}} \.}โดยปกติแล้วรัศมีของความโค้งจะถือเป็นค่าบวก (นั่นคือค่าสัมบูรณ์) ในขณะที่ความโค้ง κเป็นปริมาณที่มีการลงนาม
วิธีการหาทางเรขาคณิตศูนย์กลางของความโค้งและรัศมีของความโค้งที่ใช้กระบวนการ จำกัด ที่นำไปสู่วงกลม osculating [29] [30]ดูภาพด้านบน
ใช้พิกัดเหล่านี้เคลื่อนไหวตามเส้นทางถูกมองว่าเป็นสืบทอดของเส้นทางวงกลมที่เปลี่ยนแปลงตลอดเวลาศูนย์และในแต่ละตำแหน่งsถือว่าเป็นวงกลมไม่สม่ำเสมอในตำแหน่งที่มีรัศมีρ ค่าท้องถิ่นของอัตราการหมุนเชิงมุมจะได้รับจาก:
ω(s)=งθงt=งθงsงsงt=1ρ(s) งsงt=v(s)ρ(s) ,{\ displaystyle \ omega (s) = {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} s }} {\ frac {\ mathrm {d} s} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {1} {\ rho (s)}} \ {\ frac {\ mathrm {d} s} { \ mathrm {d} t}} = {\ frac {v (s)} {\ rho (s)}} \,}ด้วยความเร็วท้องถิ่นvกำหนดโดย:
v(s)=งsงt .{\ displaystyle v (s) = {\ frac {\ mathrm {d} s} {\ mathrm {d} t}} \.}สำหรับตัวอย่างอื่น ๆ ข้างต้นเนื่องจากเวกเตอร์หน่วยไม่สามารถเปลี่ยนขนาดได้อัตราการเปลี่ยนแปลงจะตั้งฉากกับทิศทางของมันเสมอ (ดูแทรกด้านซ้ายในภาพด้านบน): [31]
งยูn(s)งs=ยูt(s)งθงs=ยูt(s)1ρ ;{\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {u} _ {\ mathrm {n}} (s)} {ds}} = \ mathbf {u} _ {\ mathrm {t}} (s) {\ frac { d \ theta} {ds}} = \ mathbf {u} _ {\ mathrm {t}} (s) {\ frac {1} {\ rho}} \;}งยูt(s)งs=-ยูn(s)งθงs=-ยูn(s)1ρ .{\ displaystyle {\ frac {d \ mathbf {u} _ {\ mathrm {t}} (s)} {\ mathrm {d} s}} = - \ mathbf {u} _ {\ mathrm {n}} ( s) {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} s}} = - \ mathbf {u} _ {\ mathrm {n}} (s) {\ frac {1} {\ rho }} \.}ดังนั้นความเร็วและความเร่งคือ: [30] [32] [33]
v(t)=vยูt(s) ;{\ displaystyle \ mathbf {v} (t) = v \ mathbf {u} _ {\ mathrm {t}} (s) \;}และใช้กฎลูกโซ่ของความแตกต่าง :
ก(t)=งvงtยูt(s)-v2ρยูn(s) ;{\ displaystyle \ mathbf {a} (t) = {\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} t}} \ mathbf {u} _ {\ mathrm {t}} (s) - { \ frac {v ^ {2}} {\ rho}} \ mathbf {u} _ {\ mathrm {n}} (s) \;} ด้วยการเร่งความเร็วแบบสัมผัส งvงt=งvงs งsงt=งvงs v .{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {\ mathrm {d}} v} {\ mathrm {\ mathrm {d}} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} s }} \ {\ frac {\ mathrm {d} s} {\ mathrm {d} t}} = {\ frac {\ mathrm {d} v} {\ mathrm {d} s}} \ v \.}ในระบบพิกัดโลคัลนี้ความเร่งจะคล้ายกับนิพจน์สำหรับการเคลื่อนที่แบบวงกลมที่ไม่สม่ำเสมอโดยมีรัศมีท้องถิ่นρ ( s ) และความเร่งศูนย์กลางถูกระบุว่าเป็นระยะที่สอง [34]
ขยายวิธีการนี้ถึงสามเส้นโค้งมิตินำไปสู่สูตร Frenet-Serret [35] [36]
แนวทางทางเลือกมองไปที่ภาพข้างต้นอาจสงสัยว่าหนึ่งว่าบัญชีที่เพียงพอที่ได้รับจากความแตกต่างในความโค้งระหว่างρ ( s ) และρ ( s + d s ) ในการคำนวณความยาวส่วนโค้งเป็น d s = ρ ( s ) d θ ความมั่นใจในประเด็นนี้สามารถพบได้โดยใช้วิธีการที่เป็นทางการมากขึ้นที่ระบุไว้ด้านล่าง วิธีนี้ยังทำให้การเชื่อมต่อกับบทความเกี่ยวกับความโค้ง
ในการแนะนำเวกเตอร์หน่วยของระบบพิกัดโลคัลวิธีการหนึ่งคือการเริ่มต้นในพิกัดคาร์ทีเซียนและอธิบายพิกัดท้องถิ่นในรูปของพิกัดคาร์ทีเซียนเหล่านี้ ในแง่ของความยาวส่วนโค้งsให้อธิบายเส้นทางเป็น: [37]
ร(s)=[x(s), ย(s)] .{\ displaystyle \ mathbf {r} (s) = \ left [x (s), \ y (s) \ right] \.}จากนั้นการกระจัดที่เพิ่มขึ้นตามเส้นทาง d sอธิบายโดย:
งร(s)=[งx(s), งย(s)]=[x′(s), ย′(s)]งs ,{\ displaystyle \ mathrm {d} \ mathbf {r} (s) = \ left [\ mathrm {d} x (s), \ \ mathrm {d} y (s) \ right] = \ left [x '( s), \ y (s) \ right] \ mathrm {d} s \,}ที่ช่วงเวลาที่จะนำไปแสดงว่าสัญญาซื้อขายล่วงหน้าที่เกี่ยวกับs ขนาดของการกระจัดนี้คือ d sแสดงว่า: [38]
[x′(s)2+ย′(s)2]=1 .{\ displaystyle \ left [x '(s) ^ {2} + y' (s) ^ {2} \ right] = 1 \.}(ข้อ 1)การกระจัดนี้จำเป็นต้องเป็นแทนเจนต์ของเส้นโค้งที่sแสดงว่าเวกเตอร์หน่วยแทนเจนต์กับเส้นโค้งคือ:
ยูt(s)=[x′(s), ย′(s)] ,{\ displaystyle \ mathbf {u} _ {\ mathrm {t}} (s) = \ left [x '(s), \ y' (s) \ right] \,}ในขณะที่เวกเตอร์หน่วยภายนอกปกติถึงเส้นโค้งคือ
ยูn(s)=[ย′(s), -x′(s)] ,{\ displaystyle \ mathbf {u} _ {\ mathrm {n}} (s) = \ left [y '(s), \ -x' (s) \ right] \,}Orthogonalityสามารถตรวจสอบได้โดยแสดงว่าผลิตภัณฑ์จุดเวกเตอร์เป็นศูนย์ ขนาดหน่วยของเวกเตอร์เหล่านี้เป็นผลมาจากEq 1 . เมื่อใช้เวกเตอร์แทนเจนต์มุมθของแทนเจนต์กับเส้นโค้งจะถูกกำหนดโดย:
บาปθ=ย′(s)x′(s)2+ย′(s)2=ย′(s) ;{\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {y '(s)} {\ sqrt {x' (s) ^ {2} + y '(s) ^ {2}}}} = y' (s) \;} และ cosθ=x′(s)x′(s)2+ย′(s)2=x′(s) .{\ displaystyle \ cos \ theta = {\ frac {x '(s)} {\ sqrt {x' (s) ^ {2} + y '(s) ^ {2}}}} = x' (s) \.}รัศมีของความโค้งถูกนำมาใช้อย่างเป็นทางการ (โดยไม่จำเป็นต้องตีความทางเรขาคณิต) ดังนี้:
1ρ=งθงs .{\ displaystyle {\ frac {1} {\ rho}} = {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} s}} \.}อนุพันธ์ของθสามารถพบได้จากค่าความบาปθ :
งบาปθงs=cosθงθงs=1ρcosθ =1ρx′(s) .{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ sin \ theta} {\ mathrm {d} s}} = \ cos \ theta {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} s }} = {\ frac {1} {\ rho}} \ cos \ theta \ = {\ frac {1} {\ rho}} x '(s) \.}ตอนนี้:
งบาปθงs=งงsย′(s)x′(s)2+ย′(s)2{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ sin \ theta} {\ mathrm {d} s}} = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} s}} {\ frac { y '(s)} {\ sqrt {x' (s) ^ {2} + y '(s) ^ {2}}}}}=ย″(s)x′(s)2-ย′(s)x′(s)x″(s)(x′(s)2+ย′(s)2)3/2 ,{\ displaystyle = {\ frac {y '' (s) x '(s) ^ {2} -y' (s) x '(s) x' '(s)} {\ left (x' (s) ^ {2} + y ^ {2} \ right) ^ {3/2}}} \,}ซึ่งตัวส่วนคือเอกภาพ ด้วยสูตรนี้สำหรับอนุพันธ์ของไซน์รัศมีความโค้งจะกลายเป็น:
งθงs=1ρ=ย″(s)x′(s)-ย′(s)x″(s) {\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d} \ theta} {\ mathrm {d} s}} = {\ frac {1} {\ rho}} = y '' (s) x '(s) -y '(s) x' '(s) \} =ย″(s)x′(s)=-x″(s)ย′(s) ,{\ displaystyle = {\ frac {y '' (s)} {x '(s)}} = - {\ frac {x' '(s)} {y' (s)}} \,}โดยที่ความเท่าเทียมกันของรูปแบบเกิดจากความแตกต่างของEq 1 :
x′(s)x″(s)+ย′(s)ย″(s)=0 .{\ displaystyle x '(s) x' '(s) + y' (s) y '' (s) = 0 \.}ด้วยผลลัพธ์เหล่านี้สามารถพบความเร่ง:
ก(s)=งงtv(s){\ displaystyle \ mathbf {a} (s) = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ mathbf {v} (s)}=งงt[งsงt(x′(s), ย′(s))] {\ displaystyle = {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}} \ left [{\ frac {\ mathrm {d} s} {\ mathrm {d} t}} \ left (x '(s), \ y' (s) \ right) \ right] \}=(ง2sงt2)ยูt(s)+(งsงt)2(x″(s), ย″(s)){\ displaystyle = \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} s} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ right) \ mathbf {u} _ {\ mathrm {t} } (s) + \ left ({\ frac {\ mathrm {d} s} {\ mathrm {d} t}} \ right) ^ {2} \ left (x '' (s), \ y '' ( s) \ right)}=(ง2sงt2)ยูt(s)-(งsงt)21ρยูn(s) ,{\ displaystyle = \ left ({\ frac {\ mathrm {d} ^ {2} s} {\ mathrm {d} t ^ {2}}} \ right) \ mathbf {u} _ {\ mathrm {t} } (s) - \ left ({\ frac {\ mathrm {d} s} {\ mathrm {d} t}} \ right) ^ {2} {\ frac {1} {\ rho}} \ mathbf {u } _ {\ mathrm {n}} (s) \,}ที่สามารถตรวจสอบได้โดยนำผลิตภัณฑ์ดอทที่มีเวกเตอร์หน่วยu t ( s ) และu n ( s ) ผลที่ได้นี้สำหรับการเร่งความเร็วเป็นเช่นเดียวกับที่วงกลมขึ้นอยู่กับรัศมีρ การใช้ระบบพิกัดนี้ในกรอบเฉื่อยทำให้ง่ายต่อการระบุแรงปกติของวิถีว่าเป็นแรงสู่ศูนย์กลางและขนานกับวิถีเป็นแรงสัมผัส จากมุมมองเชิงคุณภาพเส้นทางสามารถประมาณได้โดยส่วนโค้งของวงกลมในช่วงเวลาที่ จำกัด และในช่วงเวลาที่ จำกัด จะมีการใช้รัศมีความโค้งโดยเฉพาะแรงเหวี่ยงและออยเลอร์สามารถวิเคราะห์บนพื้นฐานของการเคลื่อนที่เป็นวงกลมด้วยรัศมีนั้น .
ผลลัพธ์สำหรับการเร่งความเร็วนี้สอดคล้องกับที่พบก่อนหน้านี้ อย่างไรก็ตามในแนวทางนี้คำถามของการเปลี่ยนแปลงในรัศมีของความโค้งกับที่sจะถูกจัดการอย่างสมบูรณ์อย่างเป็นทางการให้สอดคล้องกับการตีความทางเรขาคณิต แต่ไม่ได้อาศัยมันจึงหลีกเลี่ยงคำถามใด ๆ ภาพด้านบนอาจแนะนำเกี่ยวกับการละเลยการเปลี่ยนแปลงในρ
ตัวอย่าง: การเคลื่อนที่แบบวงกลมเพื่อแสดงสูตรข้างต้นให้x , yกำหนดเป็น:
x=αcossα ; ย=αบาปsα .{\ displaystyle x = \ alpha \ cos {\ frac {s} {\ alpha}} \; \ y = \ alpha \ sin {\ frac {s} {\ alpha}} \.}จากนั้น:
x2+ย2=α2 ,{\ displaystyle x ^ {2} + y ^ {2} = \ alpha ^ {2} \,}ซึ่งได้รับการยอมรับเป็นเส้นทางวงกลมรอบจุดเริ่มต้นที่มีรัศมีα ตำแหน่งs = 0 สอดคล้องกับ [ α , 0] หรือ 3 นาฬิกา ในการใช้พิธีการข้างต้นจำเป็นต้องมีอนุพันธ์:
ย′(s)=cossα ; x′(s)=-บาปsα ,{\ displaystyle y ^ {\ prime} (s) = \ cos {\ frac {s} {\ alpha}} \; \ x ^ {\ prime} (s) = - \ sin {\ frac {s} {\ อัลฟา}} \,}ย′′(s)=-1αบาปsα ; x′′(s)=-1αcossα .{\ displaystyle y ^ {\ prime \ prime} (s) = - {\ frac {1} {\ alpha}} \ sin {\ frac {s} {\ alpha}} \; \ x ^ {\ prime \ prime } (s) = - {\ frac {1} {\ alpha}} \ cos {\ frac {s} {\ alpha}} \.}ด้วยผลลัพธ์เหล่านี้เราสามารถตรวจสอบได้ว่า:
x′(s)2+ย′(s)2=1 ; 1ρ=ย′′(s)x′(s)-ย′(s)x′′(s)=1α .{\ displaystyle x ^ {\ prime} (s) ^ {2} + y ^ {\ prime} (s) ^ {2} = 1 \; \ {\ frac {1} {\ rho}} = y ^ { \ prime \ prime} (s) x ^ {\ prime} (s) -y ^ {\ prime} (s) x ^ {\ prime \ prime} (s) = {\ frac {1} {\ alpha}} \.}นอกจากนี้ยังสามารถพบเวกเตอร์หน่วย:
ยูt(s)=[-บาปsα , cossα] ; ยูn(s)=[cossα , บาปsα] ,{\ displaystyle \ mathbf {u} _ {\ mathrm {t}} (s) = \ left [- \ sin {\ frac {s} {\ alpha}} \, \ cos {\ frac {s} {\ alpha}} \ right] \; \ mathbf {u} _ {\ mathrm {n}} (s) = \ left [\ cos {\ frac {s} {\ alpha}} \, \ sin {\ frac {s} {\ alpha}} \ right] \,}ซึ่งทำหน้าที่ในการแสดงให้เห็นว่าs = 0 ตั้งอยู่ที่ตำแหน่ง [ ρ , 0] และs = ρเธ / 2 [0, ρ ] ซึ่งเห็นด้วยกับการแสดงออกที่เป็นต้นฉบับสำหรับxและy ที่ กล่าวอีกนัยหนึ่งคือsจะวัดทวนเข็มนาฬิการอบวงกลมตั้งแต่ 3 นาฬิกา นอกจากนี้อนุพันธ์ของเวกเตอร์เหล่านี้สามารถพบได้:
งงsยูt(s)=-1α[cossα , บาปsα]=-1αยูn(s) ;{\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} s}} \ mathbf {u} _ {\ mathrm {t}} (s) = - {\ frac {1} {\ alpha} } \ left [\ cos {\ frac {s} {\ alpha}} \, \ sin {\ frac {s} {\ alpha}} \ right] = - {\ frac {1} {\ alpha}} \ mathbf {u} _ {\ mathrm {n}} (s) \;} งงsยูn(s)=1α[-บาปsα , cossα]=1αยูt(s) .{\ displaystyle \ {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} s}} \ mathbf {u} _ {\ mathrm {n}} (s) = {\ frac {1} {\ alpha} } \ left [- \ sin {\ frac {s} {\ alpha}} \, \ cos {\ frac {s} {\ alpha}} \ right] = {\ frac {1} {\ alpha}} \ mathbf {u} _ {\ mathrm {t}} (s) \.}ที่จะได้รับความเร็วและความเร่งเป็นเวลาพึ่งพาสำหรับsเป็นสิ่งที่จำเป็น สำหรับการเคลื่อนที่แบบทวนเข็มนาฬิกาที่ความเร็วตัวแปรv ( t ):