อนุกรมเลขคณิตอนุกรมเลขคณิต คือ ผลบวกของลำดับเลขคณิต อนุกรมมี 2 ชนิด คือ 1. อนุกรมจำกัด คือ อนุกรมที่เกิดจากลำดับจำกัด ถ้า a1, a2, ... an เป็นลำดับจำกัด ดังนั้น a1 + a2 + ... an เป็นอนุกรมจำกัด 2. อนุกรมอนันต์ คือ อนุกรมที่เกิดจากลำดับอนันต์ ถ้า a1, a2, ... เป็นลำดับอนันต์ ดังนั้น a1 + a2 + ... เป็นอนุกรมอนันต์ สูตรของอนุกรมเลขคณิตa1 + [a1 + d] + [a1 + 2d] + [a1 + 3d] + ... + [a1 + (n - 1)d] + ... สูตรผลบวก n พจน์แรกมี 2 สูตร คือ Sn = (n/2)[a1 + an] Sn = (n/2)[2a1 + (n - 1)d] 1 เอกสารประกอบการสอน ว ชา กลศาสตร ว ศวกรรม 1 (Engineering Mechanics 1) ส วนท 1 STATICS โดย อ.ดร.ชน ตต ร ตนส มาวงศ ภาคว ชาว ศวกรรมเคร องกล คณะว ศวกรรมศาสตร จ ฬาลงกรณ มหาว ทยาล ย 2 ค าน า กลศาสตร เป นว ทยาศาสตร กายภาพท เก ยวข องก บแรง และผลของแรงบนว ตถ ว ชากล ศาสตร เป นพ นฐานท ส าค ญของว ศวกรรมศาสตร หลายๆ แขนง จ งได ถ กบรรจ เป นว ชาบ งค บใน หล กส ตรว ศวกรรมศาสตร บ ณฑ ตของท กสาขา ส าหร บหล กส ตรว ศวกรรมศาสตร บ ณฑ ตของ จ ฬาลงกรณ มหาว ทยาล ย ม ว ชาท เก ยวข องก บกลศาสตร อย ท งหมด 3 ว ชา ได แก ว ชากลศาสตร ว ศวกรรม (Engineering Mechanics I) ว ชาสถ ตยศาสตร (Statics) และว ชาจลศาสตร (Dynamics) ส าหร บน ส ตภาคว ชาว ศวกรรมเคร องกล และว ศวกรรมอ ตสาหการ ซ งจ าเป นต องใช ว ชาน เป นอย าง มากจะเร ยนว ชาสถ ตยศาสตร และว ชาจลศาสตร รวม ว ชา แต ก บภาคว ชาอ นๆ น น จะเร ยนว ชา กลศาสตร ว ศวกรรมเพ ยงต วเด ยว โดยเน อหาของว ชากลศาสตร ว ศวกรรมจะประกอบด วยเน อหา บางส วนของว ชาสถ ตยศาสตร และบางส วนของว ชาจลศาสตร ส าหร บเอกสารประกอบการสอนน ม จ ดประสงค หล กเพ อใช ส าหร บว ชากลศาสตร ว ศวกรรม จ งม เน อหาส วนท 1 เป นส วนสถ ตยศาสตร และเน อหาส วนท เป นจลศาสตร การเร ยงบทและห วข อในเอกสารประกอบการสอนน จะอ างอ งตามบทและห วข อท แสดงไว ในหน งส อ Engineering Mechanics STATICS และ Engineering Mechanics DYNAMICS ซ ง เข ยนโดย Meriam และ Kraige ซ งเป นหน งส ออ านบ งค บในว ชากลศาสตร ว ศวกรรม และย ง สอดคล องก บเน อหา และล าด บห วข อท เข ยนไว ในประมวลรายว ชา ท งน เพ อความสะดวกของน ส ตใน การใช อ านประกอบก บหน งส ออ านบ งค บ ด วยเหต น จะเห นได ว าเลขบทและเลขห วข อในเอกสาร ประกอบการสอนน บางส วนจะไม เร ยงล าด บตามต วเลข โดยจะข ามบท หร อห วข อท ไม ม การเร ยน การสอนไป การเข ยนเอกสารประกอบการสอนน ผ เข ยนไม ได แปลมาจากหน งส ออ านบ งค บ ภาษาอ งกฤษโดยตรง แต จะแปล เร ยบเร ยง และบางส วนม การอธ บายเพ มเต ม เพ อให น ส ตสามารถ เข าใจเน อหาได ง ายและรวดเร วย งข น ร ปภาพและโจทย ต วอย างในเอกสารน ผ เข ยนน ามาจากหน งส อ Engineering Mechanics STATICS และ DYNAMICS ซ งเข ยนโดย Meriam และ Kraige เป นหล ก และเสร มด วยบางส วนจากหน งส อ Engineering Mechanics STATICS และ DYNAMICS ซ งเข ยน โดย R.C.Hibbeler ซ งเป นหน งในหน งส ออ านบ งค บเช นก น โดยท มาของร ปและโจทย ป ญหาได อ างอ งไว ด งแสดงในรายการเอกสารอ างอ งท ายห วข อน นๆ ส ดท ายน ผ เข ยนย นด ร บฟ งความค ดเห น และข อเสนอแนะต างๆ เพ อปร บปร งเอกสาร ประกอบการสอนน ให ด ย งๆ ข นไป โดยสามารถเสนอความค ดเห นได โดยผ านทางอ เมล ของผ เข ยน [email protected] ชน ตต ร ตนส มาวงศ 3 สารบ ญ Statics บทท 1 บทน า /1 กลศาสตร (Mechanics) / แนวค ดพ นฐาน /3 สเกลาร และเวคเตอร /4 กฎของน วต น บทท ระบบของแรง...-1 /1 บทน า / แรง ระบบแรงในสองม ต /3 ระบบพ ก ดฉาก /4 โมเมนต /5 ค ปเป ล (Couple) /6 Resultants ระบบแรงในสามม ต /7 ระบบพ ก ดฉาก /8 โมเมนต และค ปเป ล /9 Resultants บทท 3 สภาพสมด ล /1 บทน า สภาพสมด ลในสองม ต 3/ การเข ยน Free-body diagram /3 สภาพสมด ล สภาพสมด ลในสามม ต 3/4 สภาพสมด ล บทท 5 แรงกระจาย /1 บทน า / จ ดศ นย กลางมวล /3 Centroids of Lines, Areas, and Volumes 4 5/4 Composite body /5 ทฤษฎ ของ Pappus /9 Fluid Statics บทท 6 แรงเส ยดทาน /1 บทน า / ประเภทแรงเส ยดทาน /3 Dry Friction... 6- 5 Statics/ Chapter 1 Introduction to statics 1-1 สถ ตยศาสตร (Statics) บทท 1 บทน า 1/1 กลศาสตร (Mechanics) กลศาสตร เป นว ทยาศาสตร กายภาพท เก ยวข องก บแรงและผลของแรงบนว ตถ ถ งแม ว า หล กการของว ชากลศาสตร จะม ไม มาก แต ก สามารถน าไปประย กต ใช ก บป ญหาหลากหลาย ในทางว ศวกรรมได เช น การส นสะเท อน เสถ ยรภาพและความแข งแรงของโครงสร างหร อ เคร องจ กร ห นยนต การออกแบบควบค มรถยนต ยานอวกาศ เคร องยนต การไหลของของไหล เคร องจ กรกลทางไฟฟ า หร อแม แต แรงในระด บอะตอม เป นต น ด งน นการเข าใจถ งหล กการของ ว ชากลศาสตร จ งเป นพ นฐานส าค ญในการศ กษาว ชาอ นๆ ในทางว ศวกรรมต อไป กลศาสตร สามารถแบ งออกเป น แขนงใหญ ๆ ได แก สถ ตยศาสตร (Statics) ซ ง พ จารณาถ งสมด ลของว ตถ ภายใต แรงกระท าต างๆ และ พลศาสตร (Dynamics) ซ งพ จารณา เก ยวก บการเคล อนท ของว ตถ 1/ แนวค ดพ นฐาน ก อนท จะศ กษาว ชากลศาสตร จ าเป นท จะต องเข าใจแนวค ด และค าจ าก ดความพ นฐาน ด งน สเปซ (Space) ค อพ นท ซ งบรรจ ว ตถ ไว ต าแหน งของว ตถ สามารถบอกได เป นพ ก ด โดยว ด อ างอ งก บระบบพ ก ดแบบต างๆ เช น ป ญหาสามม ต ว ดเป น x-y-z หร อ r-θ-z ป ญหาสองม ต ว ด เป น x-y หร อ r-θ เป นต น ส าหร บป ญหาสามม ต พ ก ด 3 ต ว ซ งเป นอ สระต อก น จ าเป นต องใช ในการบอกพ ก ด ส วนป ญหาสองม ต จ าเป นต องใช พ ก ดเพ ยง ต ว ซ งเป นอ สระต อก น ในการ บอกพ ก ด เวลา (Time) ค อการว ดความต อเน องของเหต การณ เวลา เป นปร มาณพ นฐานท ส าค ญใน การศ กษาพลศาสตร แต ไม จ าเป นต องค าน งถ งในการพ จารณาป ญหาสถ ตยศาสตร มวล (Mass) ค อปร มาณความเฉ อยของว ตถ เป นต วบอกถ งความต านทานการเปล ยนแปลง ความเร วของว ตถ มวลย งอาจพ จารณาอ กด านหน งได เป น ปร มาณของสสารท อย ในว ตถ ส าหร บ มวล ช น จะม แรงด งด ดระหว างก นเก ดข นเสมอ ขนาดของแรงด งด ดน จะข นอย ก บขนาดของ มวล โดยถ ามวลขนาดใหญ จะม แรงด งด ดมาก แรง (Force) เป นการกระท าของว ตถ หน งต อว ตถ อ นๆ ว ตถ ท ได ร บแรงกระท า จะเก ดการ เคล อนท ไปตามท ศทางท แรงกระท า เน องจากขนาด ท ศทาง และต าแหน งท แรงกระท า ม ความส าค ญต อว ตถ ท ได ร บแรง ด งน นแรงจ งเป นปร มาณท ต องค าน งท งขนาด และท ศทาง ซ ง เร ยกว า ปร มาณเวคเตอร ค ณสมบ ต ของปร มาณเวคเตอร จะได กล าวถ งในห วข อถ ดไป 6 Statics/ Chapter 1 Introduction to statics 1- อน ภาค (Particle) ค อว ตถ ท ขนาดถ กพ จารณาว าไม ม ความส าค ญ ในทางคณ ตศาสตร อน ภาค หมายถ งว ตถ ท ม ขนาดเล กมากๆ เปร ยบเสม อนเป นจ ด และมวลของอน ภาคท งก อน จะถ ก พ จารณาให รวมอย ท จ ดๆ เด ยว ในหลายๆ คร งอน ภาคอาจจะไม ได ม ขนาดเล กก ได ว ตถ ใดๆ ซ ง ขนาดของม น ถ กพ จารณาแล วว าไม ม ความส าค ญต อการเคล อนท โดยรวม หร อ ไม ม ความส าค ญ ต อการว เคราะห แรง จะถ กพ จารณาให เป นอน ภาค ต วอย างอน ภาคในกรณ น เช น การพ จารณา การเคล อนท ของเคร องบ น เคร องบ นถ อว าเป นอน ภาค เน องจากขนาดของม นม ขนาดเล กเม อ เท ยบก บเส นทางการบ น และการพ จารณาขนาดของเคร องบ นให เป นจ ด ไม ส งผลกระทบต อการ ว เคราะห เส นทางการบ นโดยรวม ว ตถ แข งเกร ง (Rigid body) ค อว ตถ ท ถ อว าไม ม การเส ยร ป หร อม การเส ยร ปน อยมาก เม อม แรงมากระท า 1/3 สเกลาร และเวคเตอร ปร มาณทางฟ ส กส สามารถแบ งได เป น ชน ด ค อปร มาณสเกลาร และปร มาณเวคเตอร ปร มาณสเกลาร เป นปร มาณซ งม แต ขนาด เช น เวลา ปร มาตร ความหนาแน น อ ตราเร ว อ ตรา เร ง พล งงาน มวล เป นต น ปร มาณเวคเตอร เป นปร มาณซ งม ท งขนาด และท ศทาง เช น การขจ ด ความเร ว ความเร ง แรง โมเมนต โมเมนต ม เป นต น ปร มาณเวคเตอร ย งสามารถแบ งย อยๆ ตามความส าค ญของต าแหน งได อ ก เป น 3 ชน ด และ แสดงด งร ปท 1(a) -1(c) ด งน 1. Free vector เป นเวคเตอร ตามน ยามทางคณ ตศาสตร ค อ สามารถเล อนตามแนวเส นตรง หร อ ย ายไปต าแหน งอ นๆ ได โดยจะให ผลล พธ เช นเด ม ต วอย างของ free vector ได แก การ ขจ ดของว ตถ ซ งเล อนท โดยไม ม การหม น ในกรณ น เวคเตอร การขจ ดของต าแหน งใดๆ บนว ตถ สามารถใช เพ ออธ บายการเคล อนท ของว ตถ ได กล าวอ กอย างหน งค อ เวคเตอร การขจ ดสามารถ ย ายไปท ต าแหน งใดๆ บนว ตถ ได โดยได ผลล พธ ค อแสดงการขจ ดได เท าเด ม. Sliding vector เป นเวคเตอร ท สามารถเล อนไปมา ตามแนวเส นตรงได โดยไม ท าให ผลล พธ เปล ยนแปลง แต ไม สามารถย ายไปต าแหน งอ นๆ ได ต วอย างของเวคเตอร ชน ดน ค อ เวคเตอร ของแรงท กระท าต อว ตถ แข งเกร ง จากร ปท 1(b) พบว าไม ว าจะออกแรงด น หร อออกแรงด งว ตถ ว ตถ จะเคล อนท เหม อนก น แสดงให เห นว า เวคเตอร ของแรงสามารถเล อนได 3. Fixed vector เป นเวคเตอร ท ไม สามารถเล อนหร อย ายต าแหน งได จ ดท เวคเตอร กระท าม ความส าค ญต อผลล พธ ท ได ต วอย างของเวคเตอร ชน ดน ค อ เวคเตอร ของแรงท กระท าก บว ตถ ท เส ยร ปได เช น ด นน าม น จะพบว าแรงท กดด นน าม น ก บแรงท ด งด นน าม น แม แนวแรงจะอย ใน แนวเส นตรงเด ยวก น แต ก จะท าให ด นน าม นเส ยร ปต างก น เน องจากการเส ยร ปของด นน าม น ข นก บต าแหน งของแรงกระท า ด งน นเวคเตอร ของแรงในกรณ น จ งถ อว าเป น fixed vector 7 Statics/ Chapter 1 Introduction to statics 1-3 (a) S v S v (b) v S S v F v F v Rigid body (c) F v K F v Deformable body ร ปท 1 เวคเตอร ชน ดต างๆ ความร พ นฐานของเวคเตอร 1. การเข ยนเวคเตอร ร ปเวคเตอร สามารถเข ยนแทนได โดยล กศร ตามแสดงในร ปท (a) โดย ความยาวของ ล กศรแสดงถ งขนาดของเวคเตอร และ ท ศทางของห วล กศรแสดงถ งท ศทางของเวคเตอร การ เข ยนส ญล กษณ ของเวคเตอร อาจเข ยนด วยอ กษรต วหนา หร อเข ยนส ญล กษณ ห วล กศรบน ต วอ กษร ด งน V 1 หร อ V v 1 ในกรณ ท เป นเวคเตอร ต ดลบ ให เข ยนขนาดห วล กศรยาวเท าเด ม แต ท ศทางตรงก นข าม ด งแสดงในร ปท (b). การบวกเวคเตอร การบวกเวคเตอร สามารถท าได โดยต อเวคเตอร เข าด วยก นโดยใช กฎส เหล ยมด านขนาน หร อต อก นแบบห วต อหาง ด งแสดงในร ปท 3 จากร ปจะพบว า การบวกแบบเวคเตอร จะได ขนาด ของเวคเตอร ล พธ น อยกว าหร อเท าก บการบวกขนาดของแต ละเวคเตอร เข าด วยก นตรงๆ (การ บวกแบบสเกลาร ) (a) Magnitude = Vector = V r or V V r or V θ = Direction (b) V r θ V r (same magnitude but opposite direction) ร ปท การเข ยนเวคเตอร 8 Statics/ Chapter 1 Introduction to statics 1-4 V r V r V r V r 1 r r r 1 V = V 1 + V V r V r V r V r 1 V V + V 1 ร ปท 3 การบวกเวคเตอร V r r r r r r V = V V r 1 V = V1+ ( V) 1 ร ปท 4 การลบเวคเตอร V r 1 V r V r การลบเวคเตอร สามารถท าได ท านองเด ยวก บการบวกเวคเตอร โดยท าให เวคเตอร ท จะ เอามาลบเป นเวคเตอร ต ดลบ โดยกล บท ศทางห วล กศรเส ยก อน แล วค อยน ามาบวกก บเวคเตอร ท ต องการ ว ธ การลบเวคเตอร และสมการท ใช ค านวณ แสดงในร ปท 4 3. การประย กต ใช สมการตร โกณม ต ก บการบวกลบเวคเตอร การบวกลบเวคเตอร โดยต อเวคเตอร แบบห วต อหาง จะได แผนภาพเวคเตอร เป นร ป สามเหล ยม ท าให สามารถใช ส ตรตร โกณม ต ค านวณความส มพ นธ ของขนาด และท ศทางของ เวคเตอร ได ด งแสดงในร ปท 5 θ V r V r V r β 1 V = V + V VV cos( β ) 1 1 V V = sin( θ ) sin( β ) ร ปท 5 การประย กต สมการตร โกณม ต ก บการบวกลบเวคเตอร 9 Statics/ Chapter 1 Introduction to statics 1-5 ต วอย างท 1/1 ก าหนดให ขนาดของเวคเตอร V v 1 และ V v ม ค าเป น 10 และ 0 หน วยตามล าด บ ม ม θ เท าก บ w v v 30º จงค านวณหาขนาดของเวคเตอร V = V V1 และ ม ม β θ V β V = V -V 1 V 1 ว ธ ท า จากร ป ใช กฎของ cosine V = V + V V V cos( θ ) 1 1 o V = (10)(1) cos(30 ) V = หน วย Ans V จากกฎของ sine V = sin β sinθ = o sin β sin 30 β = 86.6º หร อ 93.74º ตรวจค าตอบโดยใช กฎของ cosine o กรณ β = 86.6º, 1 = (10)(6.013) cos(86.6 ) o กรณ β = 93.74º, 1 = (10)(6.013) cos(93.74 ) 144 = 144 β = 93.74º Ans 4. การแยกส วนประกอบของเวคเตอร 4.1 แยกส วนประกอบของเวคเตอร เป นสองส วนไม ต งฉากก น การแยกส วนประกอบของเวคเตอร เป นสองส วนไม ต งฉากก น สามารถท าได โดยเข ยน ร ปเวคเตอร คล ายการบวกเวคเตอร ด วยกฎส เหล ยมด านขนาน แล วหาขนาดเวคเตอร ท ต องการ โดยใช กฎของ sine หร อกฎของ cosine จากร ปท 6(a) หากทราบขนาดของเวคเตอร V v ม ม θ และม ม β จะสามารถหาขนาด ของเวคเตอร ย อย V v 1 และ V v ได จากความส มพ นธ ต อไปน V V = และ sinθ sin β V 1 V = sin(180 θ β ) sin β 10 Statics/ Chapter 1 Introduction to statics 1-6 (a) V r V r θ 1 β V r 1 (b) V r V r x ร ปท 6 การแยกส วนประกอบของเวคเตอร y y θ V r x 4. แยกส วนประกอบของเวคเตอร เป นสองส วนต งฉากก น การแยกส วนประกอบของเวคเตอร ออกเป นสองส วนต งฉากก น ท าได โดยการต งแกน พ ก ดฉาก แล วแตกเวคเตอร ให เข าแกนพ ก ดฉาก ด งแสดงในร ปท 6(b) โดย V x = V cosθ และ V y = V sinθ 5. เวคเตอร หน วย เวคเตอร ท ม ขนาดหน งหน วย จะถ กเร ยกว าเวคเตอร หน วย เวคเตอร ใดๆ สามารถเข ยน อย ในร ปผลค ณระหว างขนาดของเวคเตอร และเวคเตอร หน งหน วยในท ศทางของเวคเตอร น นๆ ด งแสดงในสมการ (1) v V = Vnˆ โดย nˆ เป นเวคเตอร หน งหน วยในท ศทางของ V v จากว ธ การเข ยนร ปเวคเตอร ใดๆ ในร ปของเวคเตอร หน วย ท าให สามารถเข ยนเวคเตอร ใดๆ ในสามม ต เป น ผลรวมของเวคเตอร ในท ศทางของแกนพ ก ด x-y-z ด งน (ร ปท 7) และ V r V = V iˆ + V ˆj + V kˆ x y = V cos θ lv, V = V cos θ mv, V = V cos θ nv x x = y y = z z z = โดย î, ĵ, kˆ ค อเวคเตอร หน งหน วยในท ศทางแกน x, y, z ตามล าด บ ส วน l, m, n เร ยกว า direction cosine (1) () ร ปท 7 การแยกส วนประกอบของเวคเตอร ในสามม ต เป นเวคเตอร ย อยในแกนพ ก ดฉาก [1] 11 Statics/ Chapter 1 Introduction to statics 1-7 ความส มพ นธ ของ l, m, n เป นด งสมการ (3) l จากความส มพ นธ สมการ (3) จะได + m + n x y z = cos θ + cos θ + cos θ = 1 (3) V Vx + Vy + = V (4) 1/4 กฎของน วต น เซอร ไอแซค น วต น เป นคนแรกท สามารถอธ บายการเคล อนท ของอน ภาคได อย าง ถ กต อง กฎการเคล อนท ของน วต น ม อย 3 ข อ ได แก กฎข อท 1 ว ตถ จะคงสภาพหย ดน ง หร อเคล อนท ด วยความเร วคงท (ท ศทางคงท และอ ตราเร วคงท ) เม อผลรวมของแรงล พธ ท กระท าต อม นเป นศ นย กฎข อท 1 ของน วต นสามารถแสดงได ด งสมการท (5) และ (6) ด งน a v = 0 (5) z F v = 0 (6) ในส วนของสถ ตยศาสตร จะพ จารณาเม อว ตถ หย ดน งหร ออย ในสมด ล ด งน นจ งใช แค กฎ ข อท 1 ของน วต นเท าน น กฎข อท ความเร งของว ตถ จะแปรผ นตรงก บเวคเตอร ของแรงล พธ ท กระท าก บม น ในท ศทางของ เวคเตอร แรงล พธ น น กฎข อท ของน วต นสามารถแสดงได ด งสมการ (7) v v F = ma (7) กฎข อน เป นพ นฐานท ส าค ญของการเคล อนท ของว ตถ กฎข อน จะได เร ยนต อไปในส วน ของพลศาสตร กฎข อท 3 แรงกร ยา และแรงปฏ ก ร ยา ระหว างผ วส มผ สค หน งๆ จะม ขนาดเท าก น แต ม ท ศทาง ตรงก นข าม และอย ในแนวเส นตรงเด ยวก น ต วอย างของแรงกร ยา และแรงปฏ ก ร ยา แสดงในร ปท 8 ในร ปท 8 คนก าล งยกม อด น ก าแพงไว ในท น แรงกร ยา ค อแรงท คนด นก าแพง แรงน จะกระท าท ก าแพง ส วนแรงปฏ ก ร ยา ค อแรงท ก าแพงด นคน แรงน จะกระท าท คน จะพบว าแรงท งค ม ขนาดเท าก น และม ท ศทาง ตรงก นข าม และแรงท งค กระท าก บว ตถ คนละช นก น ด งน นถ าพ จารณาแรงท กระท าก บคน จะม แรงท ก าแพงด นคนเท าน น ส วนถ าพ จารณาท ก าแพง จะม แต แรงท คนด นก าแพงเท าน น ใน กรณ ท พ จารณาคนก บก าแพงรวมเป นว ตถ เด ยวก น แรงท งค จะถ อว าเป นแรงภายในและห กล าง ก นหมด 12 Statics/ Chapter 1 Introduction to statics 1-8 F r F F r F ร ปท 8 แรงกร ยา และแรงปฏ ก ร ยา ตามกฎข อท 3 ของน วต น เอกสารอ างอ ง [1] J.L.Meriam and L.G.Kraige, Engineering mechanics STATICS fifth edition SI Version, John Wiley & Sons, Inc., 003. 13 Statics/ Chapter Force systems -1 สถ ตยศาสตร (Statics) บทท ระบบของแรง (ตอนท 1) /1 บทน า ในบทน จะกล าวถ งระบบของแรงในงานว ศวกรรม เน อหาในบทน จะเป นพ นฐานส าค ญใน การศ กษาว ชากลศาสตร ช นส งต อไป เช น การว เคราะห ความเค น การออกแบบโครงสร าง และ เคร องจ กรกล การไหลของของไหล เป นต น / แรง แรงเป นปร มาณเวคเตอร เน องจากผลของแรงจะข นอย ก บป จจ ยท งขนาด ท ศทาง ของ แรงกระท า เม อพ จารณาร ปท 1 จะพบว าเม อออกแรงกระท าก บว ตถ ท เส ยร ปได เช น ด นน าม น ต าแหน งท แรงกระท า ม ความส าค ญต อการเส ยร ปของว ตถ เช นก น ด งน นแรงจ งถ กพ จารณาว า เป น Fixed vector แรงภายนอกและแรงภายใน แรงสามารถแบ งออกได เป นแรงภายนอกและแรงภายใน พ จารณาแรงกระท าก บว ตถ ใน ร ปท เม อพ จารณาท ต วว ตถ จะพบว าแรงภายนอกท กระท าก บม นประกอบด วยแรงด น P แรง ท หม ดย ด O และแรงท ต วรองร บ C ส วนแรงท อย ภายในระบบท เราพ จารณาน นจะเร ยกว าแรง ภายใน ในท น แรงภายในค อแรงท อย ในเน อว ตถ และส งผลให ว ตถ ม การเส ยร ป การเส ยร ปของ ว ตถ น นข นก บ ขนาด ท ศทาง และต าแหน งของแรง ร ปร างว ตถ รวมถ งว สด ท ใช ท าว ตถ น นด วย การเส ยร ปน จะได เร ยนในว ชากลศาสตร ว สด ต อไป F r F r ร ปท 1 ผลของต าแหน งแรงกระท า 14 Statics/ Chapter Force systems - F r External F r C O C O F r Internal O ร ปท แรงภายนอกและแรงภายใน Fixed C หล กการส งผ าน ถ งแม ว าต าแหน งของแรงจะม ผลต อการเส ยร ปของว ตถ แต ถ าว ตถ ท พ จารณาม ล กษณะ ใกล เค ยงก บว ตถ แข งเกร ง ผลของต าแหน งของแรง (ท อย ในแนวเส นตรงเด ยวก น) ต อการเส ยร ป ของว ตถ สามารถละเลยได ในกรณ น ไม ว าจะออกแรงท ต าแหน งใดในแนวเส นตรงเด ยวก น ผล ของแรงน นจะม ค าเหม อนก น น นค อแรงสามารถพ จารณาเป น Sliding vector ได พ จารณาร ปท 3 จากร ปพบว า ไม ว าแรงจะให ท ต าแหน ง A หร อต าแหน ง B ผลของแรง จะม ค าเหม อนก น น นค อแรงท เก ดท หม ดย ด O และแรงท ต วรองร บ C ท เก ดเน องจากแรง P จะ ม ค าเท าก น หล กการท กล าวมาน เร ยกว า หล กการส งผ าน (Principle of Transmissibility) ในว ชาน จะพ จารณาแค แรงท กระท าต อว ตถ แข งเกร ง ด งน นหล กการส งผ านสามารถ ใช ได และแรงสามารถพ จารณาเป น Sliding vector ได ร ปท 3 หล กการส งผ าน [1] 15 Statics/ Chapter Force systems -3 (a) (b) (c) ร ปท 4 แรงท แนวแรงบรรจบก น และการรวมแรง [1] แรงท แนวแรงบรรจบก น (Concurrent forces) แรงท แนวแรงบรรจบก น หมายถ ง แรงท เส นของแนวแรงต ดก นท จ ดใดจ ดหน ง แรง F v 1 และ F v ในร ปท 4(a) เป นแรงท แนวแรงบรรจบก น เน องจากแนวแรงของแรงท งสองต ดก นท จ ด A แรงท งสองสามารถรวมก นเป นแรงล พธ R v โดยใช กฎการรวมแบบส เหล ยมด านขนาน และ แรงล พธ R v ท ได ก จะผ านจ ด A ท แนวแรงบรรจบก นเช นก น ข อระว งในการรวมแรงค อ แรงล พธ ท ได ต องผ านจ ดท แนวแรงบรรจบก น ด งน นผลการ รวมแรงในร ปท 4(b) จะให ผลท ถ กต อง อย างไรก ตามส าหร บการรวมแรงตามร ปท 4(c) ถ งแม ว า แรงจะถ กรวมอย างถ กต องตามหล กการบวกเวคเตอร ท าให ได ขนาดและท ศทางของแรงท ถ กต อง แต ต าแหน งท แรงล พธ กระท าจะผ ดไป ส วนประกอบย อยของแรง นอกจากการรวมแรงสองแรงเป นแรงล พธ แรงเด ยวแล ว ในหลายๆคร งจ าเป นท จะต อง แตกแรงออกเป นส วนประกอบย อยๆ ตามแนวต างๆ โดยผลรวมของแรงย อยๆ ท แตกออกมา ต องม ค าเท าก บแรงเด มเสมอ ร ปท 5(a) แสดงถ งการแยกแรงล พธ R v ออกเป นแรง F v 1 และ F v ตามแนวแกน a และ b ว ธ หาแรง F v 1 และ F v ท าโดยเข ยนร ปการรวมเวคเตอร แบบส เหล ยมด านขนาน และใช สมการ ตร โกณม ต (กฎของ sine และกฎของ cosine) ค านวณขนาดของส วนประกอบย อยๆ ตามว ธ ท แสดงในบทท 1 b F r R r F r b b R r F r 1 a F r a a (a) (b) ร ปท 5 การแตกแรงเป นส วนประกอบย อย และโปรเจคช นของแรง [1] 16 Statics/ Chapter Force systems -4 โปรเจคช นของแรง โปรเจคช นของเวคเตอร บนแกนใดๆ หมายถ งภาพฉายต งฉากบนแกนน นๆ ร ปท 5(b) แสดงถ งภาพฉายของแรงล พธ R v บนแกน a และ b เน องจากแกน a และ b ไม ต งฉากก น ด งน นผลรวมของแรง F v a ก บ F v b ซ งเป นโปรเจคช นของ R v จ งไม เท าก บแรงล พธ R v การรวมแรงในกรณ แรงสองแรงขนานก น การรวมแรงท ม แนวแรงบรรจบก น จะสามารถร ต าแหน งของแรงล พธ ว าจะต องผ าน ต าแหน งท แนวของแรงต ดก น อย างไรก ตามถ าแรงท จะรวมเป นแรงสองแรงซ งขนานก น ท าให ไม ม จ ดต ดจะไม สามารถหาต าแหน งของแรงล พธ ได ว ธ การรวมแรงในกรณ น สามารถท าได ตาม ข นตอนด งน 1. แรงท จะรวมค อแรง F v 1 และ F v ซ งม ท ศทางขนานก น (ร ปท 6(a)). เพ มแรง F v และ F v ซ งม ขนาดเท าก นและอย ในแนวเส นตรงเด ยวก น แต ท ศทาง ตรงก นข ามเข าไปในระบบ โดยแนวแรง F v และ F v กระท าผ านจ ดบนเส นตรงซ งลาก เช อมจ ดท แรง F v 1 และ F v กระท า (ร ปท 6(b)) เน องจากแรงล พธ ของแรง F v และ F v ม ค าเท าก บศ นย ด งน นการเพ มแรงค น เข าไปจ งไม ม ผลกระทบก บแรงรวมของท ง ระบบ 3. ท าการรวมแรง F v 1 ก บแรง F v และแรง F v ก บแรง F v จะได แรงรวมเป น R v 1 และ R v ตามล าด บ (ร ปท 6(b)) 4. รวมแรง R v 1 และแรง R v เข าด วยก น ตามว ธ รวมแรงท แนวแรงบรรจบก น จะได แรง ล พธ R v ซ งม ท ศทางขนานก บแรงเร มต น F v 1 และ F v และกระท าผ านจ ดต ดของแรง R v 1 และ R v ตามต องการ (ร ปท 6(c)) R r R r 1 R r F F R r R r 1 F R r R r 1 F 1 F 1 F 1 F F F F (a) (b) (c) ร ปท 6 การรวมแรงสองแรงท ขนานก น [1] 17 Statics/ Chapter Force systems -5 SECTION A. ระบบแรงในสองม ต /3 ระบบพ ก ดฉาก ว ธ ท วไปในการหาค าตอบของแรงในป ญหาสองม ต ค อ การแยกส วนประกอบของแรง ออกเป นสองส วนตามระบบพ ก ดฉาก ตามร ปท 7 แรง F v จะแยกได เป นแรง F v x และ F v y และ เข ยนสมการได ด งน v v v F = F x + F y (1) เข ยนในร ปผลค ณสเกลาร ของแต ละส วนประกอบก บเวคเตอร หน งหน วยแสดงท ศทางได ด งน v F = F iˆ x + F ˆ y j () ค า F x และ F y สามารถเป นบวก หร อลบก ได ข นก บท ศทางของแรง F v และ สามารถหาได ตามสมการต อไปน F x = F cosθ F y = F sinθ y = = arctan( ) F F x + F y F θ (3) F x ร ปท 7 การแตกแรงในระบบพ ก ดฉาก [1] การค ดเคร องหมายบวกลบของ F การค ดเคร องหมายบวกลบ สามารถท าได ตามข นตอนต อไปน 1. เข ยนเวคเตอร ของแรง. ต งแกนพ ก ดฉาก 3. ท าการแตกแรงเป นส วนประกอบย อยตามแนวแกนพ ก ด 4. ถ าท ศของแรงท แตกได ม ท ศเด ยวก บท ศบวกของแกนพ ก ด เคร องหมายเป นบวก 5. ถ าท ศของแรงท แตกได ม ท ศตรงข ามก บท ศบวกของแกนพ ก ด เคร องหมายเป นลบ พ จารณาต วอย างการค ดเคร องหมายบวกลบจากต วอย างด งแสดงในร ปท 8 18 Statics/ Chapter Force systems -6 F r θ x F r y β y F x = Fcosθ F y = Fsinθ θ y F r θ x F x = Fcosθ F y = Fsinθ x F x = Fsin(β θ) F y = Fcos(β θ) ร ปท 8 ต วอย างการแตกแรงในระบบพ ก ดฉาก การบวกลบเวคเตอร ในระบบพ ก ดฉาก การบวกลบเวคเตอร ในระบบพ ก ดฉากท าได โดย แตกเวคเตอร แต ละต วให ม ท ศทางตาม แกนพ ก ดฉากเส ยก อน แล วจ งบวกลบเวคเตอร ย อยท ม ท ศทางเด ยวก นเข าด วยก น การบวกลบ เวคเตอร ในระบบพ ก ดฉากแสดงในร ปท 9 และสมการท (4) v v v R = F + F ( ˆ ˆ) ( ˆ = F1 x i + F1 y j + F xi + F v R = R iˆ + R ˆj = ( F + F )ˆ i + ( F F 1 y j จ ดร ปได ด งน ˆ x y 1 x x 1y + y ) j เพราะฉะน นจะได Rx = F1 x + F x = Fx Ry = F y + F y = Fy 1 (4) ˆ) ร ปท 9 การบวกลบเวคเตอร ในระบบพ ก ดฉาก [1] 19 Statics/ Chapter Force systems -7 /1 Determine the components of the 800-N force F along the oblique axes a and b. Also, determine the projections of F onto the a- and b-axes. [Engineering Mechanics Statics 5 th edition, Meriam & Kraige, prob./19] ว ธ ท า 1 หาส วนประกอบของเวคเตอร แรงตามแนวแกน a และ b F b 75 F =800N b F b a 45 F a จากร ป พ จารณาการต อเวคเตอร แบบห วต อหาง ซ งจะต อเวคเตอร เป นร ปสามเหล ยม จากร ปสามเหล ยมน จะสามารถหาขนาดของ F a และ F b ได จากกฎของ sine ด งน กฎของ sine จะได 800 F = a Fb = sin 45 sin 75 sin 60 F a = N F b = N Ans หาโปรเจคช นตามแนวแกน a และ b F =800N F b โปรเจคช นบนแกน a F a = 800 cos60 = 400N Ans a F a b โปรเจคช นบนแกน b F b 800 cos75 = N = Ans 20 Statics/ Chapter Force systems -8 / The cable AB prevents bar OA from rotating clockwise about the pivot O. If the cable tension is 750 N, determine the n- and t- components of this force acting on point A of the bar. [Engineering Mechanics Statics 5 th edition, Meriam & Kraige, prob./3] T AB θ ว ธ ท า เน องจากต องการหาส วนประกอบของแรงต ง T AB ในแนวแกน n-t จ งต องแตกแรง T AB เข า แกน n-t การจะแตกแรงได จ าเป นต องร ม ม θ เส ยก อน α หาขนาดของม ม α ได ด งน 1.5sin 60 tan α = = cos 60 α = จากม ม α สามารถหาม ม θ ได ด งน θ = = แรง T t ตามแนวแกน t = cosθ = 750cos T AB = 67 N เน องจากท ศทางของแรง T t ตรงข ามก บแกนบวกของแกน t ด งน น แรง T t = -67 N Ans แรง T n ตามแนวแกน n = sinθ = 750sin T AB = N เน องจากท ศทางของแรง T n ตรงก บแกนบวกของแกน n ด งน น แรง T n = N Ans 21 Statics/ Chapter Force systems -9 /3 The guy cables AB and AC are attached to the top of the transmission tower. The tension in cable AC is 8 kn. Determine the required tension T in cable AB such that the net effect of the two cable tension is a downward force at point A. Determine the magnitude R of this downward force. [Engineering Mechanics Statics 5 th edition, Meriam & Kraige, prob./5] T AB α R θ T AC ว ธ ท า จากร ป พ จารณาแรงกระท าท จ ด A จะพบว าม แรงเน องจากแรงต งของเคเบ ล แรง ได แก แรง T AC และ T AB ท งสองแรงน จะรวมก นได เป นแรงกด R ซ งม ท ศทางพ งลงตามแนวด ง หาขนาดของม ม θ, α และ β ได ด งน θ T AC = 8kN 40 θ = arctan( ) = α = arctan( ) = R α β T AB β = = น าแรงท ง 3 แรงมาเข ยนเวคเตอร ผลบวกของแรง แบบห วต อหางได ด งร ป จากกฎของ sine T TAB = sinα sinθ AC = R sin β 8 T = AB R = sin sin sin T AB = 5.68 kn R = 10.1 kn Ans 22 Statics/ Chapter Force systems -10 แบบฝ กห ด ห วข อ /-/3 1. Combine the two forces P and T, which act on the fixed structure at B, into a single equivalent force R. [Engineering Mechanics STATICS 5 th edition, Meriam & Kraige] (Ans R = 54 N, θ = 48.6 ). If the equal tensions T in the pulley cable are 400 N, express in vector notation the force R exerted on the pulley by the two tensions. Determine the magnitude of R. [Engineering Mechanics STATICS 5 th edition, Meriam & Kraige] (Ans R = 600i + 346j N, R = 693 N) 3. The 500-N force F is applied to the vertical pole as shown. 1. Write F in terms of the unit vector i and j and identify both its vector and scalar components.. Determine the scalar components of the force vector F along the x'- and y'- axes. 3. Determine the scalar components of F along the x- and y'- axes. [Engineering Mechanics STATICS 5 th edition, Meriam & Kraige] (Ans (1) F = 50i - 433j () F x = 500 N, F y = 0 N (3) F x = 1000N, F y = -866 N) ร ปส าหร บแบบฝ กห ดข อ 1 ร ปส าหร บแบบฝ กห ดข อ ร ปส าหร บแบบฝ กห ดข อ 3 23 Statics/ Chapter Force systems -11 เอกสารอ างอ ง [1] J.L.Meriam and L.G.Kraige, Engineering mechanics STATICS fifth edition SI Version, John Wiley & Sons, Inc., 003. 24 Statics/ Chapter Force systems -1 สถ ตยศาสตร (Statics) บทท ระบบของแรง (ตอนท ) /4 โมเมนต การเคล อนท ของว ตถ ม ท งการเคล อนท แบบเล อนท และการเคล อนท แบบหม น พ จารณา ร ปท 1(a) แรงกระท าว ตถ ผ านจ ดศ นย กลางมวลท าให ว ตถ เล อนท เพ ยงอย างเด ยว ส วนในร ปท 1(b) แรงกระท าไม ผ านจ ดศ นย กลางมวล ว ตถ จ งเล อนท ไปพร อมๆ ก บเก ดการหม น แนวโน มท จะเก ดการหม นน เร ยกว า โมเมนต (Moment) ในหลายๆ คร งโมเมนต อาจถ กเร ยกว าทอร ก (Torque) F r C.G. C.G. F r d Translation Translation + Rotation ร ปท 1 แรงและการเคล อนท แบบเล อนท และแบบหม น ร ปท แสดงการใช ประแจข นท อ (Pipe wrench) หม นท อ พบว าหากเปร ยบเท ยบการ ใช ประแจหม นท อ ก บการใช ม อหม นโดยตรงแล ว การใช ประแจหม นจะท าให เก ดการหม นได มากกว าใช ม อหม นโดยตรง หากใช แรงในการหม นใกล เค ยงก น ท งน เน องจากว าการใช ประแจ หม นจะเก ดโมเมนต หร อเก ดแนวโน มท จะหม นมากกว าการใช ม อหม น นอกจากน จะพบว าเม อ แขนของประแจยาวข น จะช วยผ อนแรงท หม นได (ใช แรงหม นน อยลง) ด งน นอาจสร ปได ว า โมเมนต จะข นอย ก บขนาดของแรง และระยะห างของแรงกระท าจากแกนการหม น ร ปท ร ปต วอย างแสดงโมเมนต [1] 25 Statics/ Chapter Force systems -13 ร ปท 3 แสดงท ศทางแรงต างๆ ต อการหม น โดยท อจะหม นได รอบแกน A-A จากร ปจะ พบว า แรง F 1 และ F 4 จะท าให ท อหม นทวนเข มนาฬ กา และ ตามเข มนาฬ กาตามล าด บ ส วน แรง F และ F 3 ซ งแนวแรงขนานก บท อ และผ านแกนท อจะไม ท าให ท อหม น แต จะท าให ท อเก ด การด ดแทน ด งน นอาจจะสร ปได ว า แรงท จะท าให เก ดโมเมนต น น ต องกระท าท ท ศทางใดๆ ซ ง ไม ขนานก บแกนการหม น และแนวของแรงไม ผ านแกนหม น ร ปท 3 ท ศทางของแรงต อการหม น โมเมนต รอบจ ด ร ปท 4 แสดงถ งแรง F v ท กระท าต อว ตถ สองม ต ท าให เก ดการหม นรอบแกน O-O ซ ง ต งฉากก บระนาบของว ตถ ขนาดของโมเมนต สามารถน ยามได ว าเป นผลค ณของขนาดแรง (F) ก บระยะทางต งฉากจากแกนหม นถ งแนวแรง (d) ด งแสดงในสมการ (1) จากสมการน จะพบว า โมเมนต จะม หน วยเป น N.m ในหน วย SI M = Fd (1) เน องจากการหม นต องม การบอกท ศทางว าหม นไปท ศทางใด เช น ต องบอกว าหม น ท ศทางตามเข มนาฬ กา หร อทวนเข มนาฬ กา จ งจะเป นการบอกล กษณะการหม นได สมบ รณ ด งน น โมเมนต จ งเป นปร มาณเวคเตอร โดยท ศทางของโมเมนต หาได จากกฎม อขวา ด งแสดงใน ร ปท 4 ต าแหน งของเวคเตอร โมเมนต สามารถเล อนข นลงได อ สระบนแกนหม น แต ไม สามารถ เล อนไปท ต าแหน งอ นๆ ได เน องจากจะท าให การหม นเปล ยนแปลงไป ด งน นโมเมนต จ งถ อเป น Sliding vector ร ปท 4 ร ปแสดงน ยามของโมเมนต และท ศทางของโมเมนต [1] 26 Statics/ Chapter Force systems -14 ร ปท 5 แรงและโมเมนต ในสองม ต [1] ส าหร บกรณ สองม ต น น แกนของการหม นจะกลายเป นจ ด ด งแสดงในร ปท 5 การ ก าหนดท ศทางการหม นสามารถก าหนดให ท ศทวนเข มนาฬ กา หร อ ตามเข มนาฬ กา ท ศใดท ศ หน งเป นท ศทางบวกก ได การครอสเวคเตอร (The Cross Product) ในป ญหาหลายๆ ป ญหา โดยเฉพาะป ญหาสามม ต การค านวณโมเมนต อาจท าได ง าย กว าโดยใช ว ธ การเวคเตอร โมเมนต ของแรง F v รอบจ ด A ด งแสดงในร ปท 4 สามารถหาได จาก การครอสเวคเตอร ด งน v v v M = r F () โดย r v ค อเวคเตอร ท ช จากจ ด A ไปย งจ ดใดๆ บนแนวแรง F v เม อค ดขนาดของโมเมนต อย างเด ยว จะสามารถหาโมเมนต ได จากสมการ (3) ด งน M = Fr sin α = Fd (3) โดย α เป นม มระหว างเวคเตอร r v และแรง F v ท ศทางของโมเมนต สามารถหาได จากกฎม อขวา โดยวางม อตามแนวเวคเตอร r v และ กวาดน วไปตามท ศทางแรง F v ท ศทางของน วโป งจะเป นท ศทางของโมเมนต M v เน องจาก โมเมนต เป นผลจากการครอสเวคเตอร ด งน นจ งไม สามารถสล บเวคเตอร r v และ F v จากสมการ v v v () เป น M = F r ได เน องจากจะได ท ศทางผ ดเป นตรงก นข าม Varignon s Theorem Varignon s Theorem กล าวไว ว า โมเมนต ของแรงรอบจ ดใดๆ ม ค าเท าก บผลรวมของ โมเมนต ของส วนประกอบย อยๆ ของแรงน นรอบจ ดเด ยวก น Varignon s Theorem สามารถ แสดงได โดยร ปท 6 และสมการต อไปน กรณ ค ดเป นสเกลาร จะได v M O v M O v v v R = P + Q v v v v v = r R = r ( P + Q) v v v v v v r R = r P + r Q = (4) M O Rd = pp + qq = (5) 27 Statics/ Chapter Force systems -15 ร ปท 6 Varignon theorem [1] 28 Statics/ Chapter Force systems -16 /4 The force exerted by the plunger of cylinder AB on the door is 40 N directed along the line AB, and this force tends to keep the door closed. Compute the moment of this force about hinge O. What force F C normal to the plane of the door must the door stop at C exert on the door so that the combined moment about O of the two forces is zero? [Engineering Mechanics Statics 5 th edition, Meriam & Kraige, prob./4] ว ธ ท า θ F AB =40 N F C หาโมเมนต M O เน องจากแรงใน แนว F AB 100 tanθ = arctan( ) = แตกแรง F AB เป นแรงย อยในแนวด งและแนวระด บ ตามเส นส น าเง น และหาโมเมนต ของแรง F AB จากผลรวมของโมเมนต ของแรงย อยได ด งน M O 3 = (40 cosθ )(75 10 ) + (40sinθ )( ) 10 3 แทนค าม ม θ จะได M O = 7.03 Nm CW Ans หาแรง F C ซ งท าให โมเมนต รวมท O = 0 (โมเมนต เก ดจากแรง F AB และ F C เท าน น ส วนแรงท หม ดย ดประต น น เน องจากแรงกระท าท จ ด O จ งไม ท าให เก ดโมเมนต ท จ ด O) M O = F C (0.85) 7.03 = FC (0.85) F C = 8. 53N Ans 29 Statics/ Chapter Force systems -17 ว ธ ท า x 0 III l = 80 mm θ F I II x /5 The spring-loaded follower A bears against the circular portion of the cam until the lobe of the cam lifts the plunger. The force required to lift the plunger is proportional to its vertical movement h from its lowest position. For design purposes determine the angle θ for which the moment of the contact force on the cam about the bearing O is a maximum. In the enlarged view of the contact, neglect the small distance between the actual contact point B and the end C of the lobe. [Engineering Mechanics Statics 5 th edition, Meriam & Kraige, prob./45] จากร ปจะพบว า ช วง I และ II ย งไม เก ดแรง เน องจาก สปร งย งไม เก ดการหดต ว ด งน น ช วงท เก ดแรงและโมเมนต มาก ท ส ดจะเก ดในช วงท III เม อส วน แหลมของล กเบ ยวส มผ สก บต วตาม แรงจากสปร งจะแปรผ นตรงก บระยะหดน นค อ โดย F = k( x x0) x = l sinθ x0 = 40mm l = 80mm หาโมเมนต จาก M = Fl cosθ = k( l sinθ x0)( l cosθ ) M = kl( l sinθ cosθ x0 cosθ ) l M = kl( sin θ x0 cosθ ) หาค าส งส ดของโมเมนต โดยหาต าแหน งท อน พ นธ เท ยบก บม ม θ ม ค าเท าก บศ นย dm l = kl( cos θ () x0 ( sinθ )) = 0 dθ l cos θ + x0 sinθ = 0 l( 1 sin θ ) + x0 sinθ = 0 30 Statics/ Chapter Force systems -18 แทนค า x 0 = 40mm, l = 80 mm จะได sinθ = , (1 sin θ ) + 40sinθ = 0 4sin θ sinθ = 0 ค า อย ในต าแหน งท แรงสปร งเป นศ นย ด งน นจ งพ จารณาแต ค า sinθ = , θ = 57.47º Ans 31 Statics/ Chapter Force systems -19 /5 ค บเป ล (Couple) ค บเป ลเป นโมเมนต ซ งเก ดข นจากแรงค ควบ (แรงสองแรงซ งม ขนาดเท าก น แต ม ท ศทาง ตรงก นข าม และเป นแรงท ไม อย ในแนวแรงเด ยวก น) พ จารณาร ปท 7 ซ งแสดงค บเป ลจากแรง F v และ F v การหาโมเมนต เน องจากค บเป ลท าได โดยสมม ต จ ดหม นท ต าแหน งใดๆ O โมเมนต หาได ด งน M = F( a + d) Fa = Fd (6) จากสมการ (6) จะพบว าโมเมนต ท เก ดไม ข นก บต าแหน งจ ดหม น O เลย เน องจากไม ม พจน a ซ งแสดงระยะห างของแรงก บจ ดหม น ขนาดของค บเป ลจะข นก บขนาดของแรงกระท า และระยะห างในแนวต งฉากของแนวแรงท งสองเท าน น ร ปท 7 ค บเป ล [1] เม อพ จารณาแบบเวคเตอร ค บเป ลสามารถหาได ด งแสดงในร ปท 8 และสมการท (7) r r r r r r r r M = A F + B ( F) = ( A B ) F r v r M r F = (7) โดย ค อเวคเตอร ซ งช จากจ ดใดๆ บนแนวแรง F v ไปย งจ ดใดๆ บนแนวแรง F v ท ศทางของค บเป ลจะต งฉากก บระนาบท แรง F v และ F v อย และสามารถพ จารณาได ตามกฎม อขวาท านองเด ยวก บท ศทางของโมเมนต อย างไรก ตามเน องจากขนาดของค บเป ลม ค า เท าก น ไม ว าจะเล อกจ ดหม นท จ ดไหน ด งน นค บเป ลจ งถ กพ จารณาเป น Free vector ส าหร บใน สองม ต ค บเป ลสามารถเข ยนแสดงได ตามร ปท 9 M r O r A r B A r F r B r F ร ปท 8 ค บเป ลในสามม ต 32 Statics/ Chapter Force systems -0 ร ปท 9 ส ญล กษณ แสดงค บเป ล [1] ค บเป ลท เท าก น ค บเป ลท เท าก น หมายถ งค บเป ลท ม ขนาดเท าก น และม ท ศทางเด ยวก น ค ปเป ลท เท าก นอาจจะเก ดจากแรงค ท ไม เท าก น หร อท าท ต าแหน งต างก นก ได (เน องจากค บเป ดเป น Free vector) ร ปท 10 แสดงถ งแรงค ควบต างๆ กระท าท ต าแหน งต างๆ ก น แต ให ผลล พธ ค บเป ลท เท าก น น นค อค บเป ลขนาด M และม ท ศทางช ข นด านบน ร ปท 10 ค บเป ลท ม ขนาดเท าก น [1] ระบบของแรงและค บเป ล เม อแรงหน งแรงกระท าก บว ตถ แรงน นจะส งผลให ว ตถ เคล อนท ตามแนวแรงกระท า และ อาจส งผลให ว ตถ หม นรอบแกนใดๆ น นแสดงให เห นว าผลของแรง อาจแยกออกเป นผลของแรง ท ด งหร อด นว ตถ ให เคล อนท ไปตามแนวแรง และผลของค บเป ลท ท าให ว ตถ หม นรอบแกนใดๆ ได น นค อ เราอาจเข ยนแทนแรงหน งแรงได ด วยแรงและค บเป ลได พ จารณาข นตอนการเข ยนด ง แสดงในร ปท ในร ปท 11(a) แรง F v กระท าท จ ด A. เพ มแรง F v และ F v ท จ ด B ด งแสดงในร ปท 11(b) เน องจากแรงล พธ ท เพ มเข า ไปในระบบเป นศ นย ด งน นแรงท เพ มจ งไม ส งผลใดๆ ต อระบบ 3. จากร ปท 11(c) จ บค แรง F v กระท าท จ ด A และแรง F v กระท าท จ ด B จะได แรง ค ควบ 1 ค 33 Statics/ Chapter Force systems แรง F v ท กระท าท จ ด A ในร ปท 11(a) สามารถเข ยนแทนได เป นแรง F v กระท าท จ ด B และแรงค ควบขนาด Fd โดย d เป นระยะห างระหว างแรงค ควบ ด งแสดงใน ร ปท 11(d) การเข ยนแทนแรงๆ หน งด วยแรงและค บเป ล อาจกล าวอ กอย างได ว า ถ งแม ว าแรงจะเป น Sliding vector (กรณ กระท าก บว ตถ แข งเกร ง) แต แรงก สามารถย ายต าแหน งได โดยเม อย าย ต าแหน งแล วจะต องเก ดค บเป ลเพ มข นเพ อชดเชยผลของโมเมนต ท จะเปล ยนไป Add to the system F v = 0 Couple (a) (b) (c) (d) ร ปท 11 ระบบของแรงและค บเป ล [1] 34 Statics/ Chapter Force systems - /6 Calculate the moment of the 100-N force about pin A of the bracket. Begin by replacing the 100-N force by a forcecouple system at point C. [Engineering Mechanics Statics 5 th edition, Meriam & Kraige, prob./68] ว ธ ท า เม อย ายแรง 100N มาท จ ด C จะได แรง M 100N ท จ ด C บวกก บโมเมนต ด งแสดง โดยเส นส น าเง นในร ป 100N โมเมนต M จากการย ายแรงสามารถหา ได ด งน M = = 40Nm หาโมเมนต รอบจ ด A M A = 100sinθ (0.6) + M M A 1 = = 56 Nm CCW Ans 35 Statics/ Chapter Force systems -3 /6 Resultants แรงและค บเป ลท กระท าก บระบบสามารถรวมให เป นร ปแบบอย างง ายได โดยไม ท า ให ผลกระทบของแรงและค บเป ลเปล ยนแปลงไป ร ปแบบอย างง ายน เร ยกว า Resultants Resultants น จะเป นแรงเพ ยงแรงเด ยว หร อเป นค บเป ลเพ ยงอย างเด ยวในป ญหา ม ต และเป น ผลรวมของแรงและโมเมนต ในป ญหา 3 ม ต ร ปท 1(a) แสดงถ งการรวมแรงเพ อหา Resultant แรง F v 1, F v และ F v 3 สามารถรวม ได โดยใช การรวมแรงตามว ธ ท ได กล าวมาแล ว โดยท าการรวมแรง F v และ F v 3 เป นแรงล พธ R v 1 ก อน แล วจ งรวมแรง R v 1 ก บแรง F v 1 เพ อหา Resultant R v ของระบบ ว ธ น จะร ได ว าแนวแรง ล พธ ผ านท ต าแหน งใด ส าหร บขนาดของแรงล พธ อาจหาได โดยต อเวคเตอร ของแรงเข าด วยก นแบบห วต อหาง หร อแยกแรงแต ละแรงเป นส วนประกอบย อยๆ ตามแนวแกน x-y และรวมแรงย อยๆ เข าด วยก น ตามท แสดงในร ปท 1(b) หร อแสดงในสมการ (8) v v v v v R = F1 + F + F3 + K = F R x = Fx R y = Fy R = ( F x ) + ( Fy ) R y Fy = arctan( ) = arctan( ) R F θ (8) x x (a) ร ปท 1 การหา Resultants [1] (b) Algebraic Method การหา Resultants สามารถหาได โดยว ธ ทางพ ชคณ ตด งแสดงในร ปท 13 ว ธ การน ใช หล กการท ว า แรงแรงหน งสามารถเข ยนแทนได ด วยแรงขนาดเด ยวก นกระท าท ต าแหน งอ นและ ค บเป ล (ห วข อ /5) โดยว ธ การน จะท าการย ายแรงท กแรงไปท จ ดเด ยวก นท หาโมเมนต สะดวก เพ อหาแรงรวมและโมเมนต รวม จากน นจ งท าการย ายต าแหน งของแรงรวมอ กคร งหน งเพ อ ชดเชยให ผลของค บเป ลหายไป 36 Statics/ Chapter Force systems -4 ว ธ การพ ชคณ ตม ข นตอนด งต อไปน 1. เล อกจ ดท หาโมเมนต สะดวกจ ดใดก ได เพ อท าการย ายแรง (ร ปท 13(a)). ท าการย ายแรงไปท จ ดน น (ในร ปค อจ ด O) ด งแสดงในร ปท 13(b) เม อย ายแรงไป จะต องเก ดค บเป ลข นตามหล กการท แสดงในห วข อ /5 โดย เม อย ายแรง F v 1 จะเก ด ค บเป ล M 1 ขนาด F d 1 1 ท ศทางตามเข มนาฬ กา ในท านองเด ยวก น เม อย ายแรง F v และ F v 3 แล วก จะเก ดค บเป ล M และ M 3 ข นเช นก น v v 3. รวมแรงและค บเป ลท งหมดของระบบ ได เป นแรง R = F และค บเป ล M O = (Fd) ด งแสดงในร ปท 13(c) 4. เน องจากแรงๆ หน งสามารถเข ยนแทนได ด วย แรงขนาดเท าก นท ต าแหน งอ นและ ค บเป ล ในทางกล บก นแรงและค บเป ล ก สามารถเข ยนแทนได ด วยแรงเพ ยงแรง เด ยวเช นก น ในกรณ ตามร ป 13(c) ถ าแรงกระท าท จ ด O จะเก ดค บเป ลหม นใน ท ศทางตามเข มนาฬ กา เม อต องการเข ยนแทนด วยแรงเพ ยงแรงเด ยว จ าเป นต อง เล อนแรง R v ข นเป นระยะ d ด งแสดงในร ปท 13(d) เพ อให เก ดโมเมนต รอบจ ด O ชดเชยค บเป ล โดยระยะ d สามารถหาได จากความส มพ นธ Rd = M O ร ปท 13 การหา Resultants ด วยว ธ พ ชคณ ต [1] 37 Statics/ Chapter Force systems -5 ต วอย าง Resultants กรณ อ นๆ พ จารณาต วอย างการหา Resultants กรณ อ นๆ แสดงในร ปท 14(a) และ 14(b) ร ปท 14(a) แรงรวมระหว างแรง F v 1 และ F v ม ค าเท าก บ F v 3 แต ไม ได อย ในแนว เส นตรงเด ยวก นก บ F v 3 ด งน นเม อรวมก บแรง จ งม แรงรวมเป นศ นย ในกรณ น Resultant จ ง เป นค บเป ลโดยม ขนาดเท าก บ F 3 d ร ปท 14(b) แนวแรงท งสามแรงผ านจ ด O ด งน นเม อหาโมเมนต รวมท จ ด O จ งได v v โมเมนต รวมเป นศ นย ในกรณ น Resultant จ งเป นแรงล พธ และม ค าเท าก บ R = F F r 1 F r 1 r F r r 1 + F = F 3 F r O F r d F r 3 F r 3 (a) ร ปท 14 Resultants กรณ อ นๆ (b) เอกสารอ างอ ง [1] J.L.Meriam and L.G.Kraige, Engineering mechanics STATICS fifth edition SI Version, John Wiley & Sons, Inc., 003. 38 Statics/ Chapter Force systems -6 /7 The asymmetric roof truss is of the type used when a near normal angle of incidence of sunlight onto the south-facing surface ABC is desirable for solar energy purpose. The five vertical loads represent the effect of the weight of the truss and supported roofing materials. The 400-N load represents the effect of wind pressure. Determine the equivalent force-couple system at A. Also, compute the x-intercept of the line of action of the system resultant treated as a single force R. [Engineering Mechanics Statics 5 th edition, Meriam & Kraige, prob./86] ว ธ ท า ย ายแรงท งหมดมาท จ ด A จะหาแรงล พธ ได ด งน 400 N A A x = 400 cos30 = N A y = sin 30 = 00N = 000 N M แรงล พธ A = ˆ i 00 ˆ j N Ans เม อย ายแรงท งหมดมาท จ ด A จะเก ดโมเมนต M รอบจ ด A ซ งหาได ด งน M = 400 (.5) + 500(.5) + 500(5) + 500(7.5) + 50(10) M = 11000Nm Ans A M A x ให Resultant ต ดแกน x ท ต าแหน งห างจากจ ด A = x จะพบว าแรงท ท าให เก ดโมเมนต M เป น แรง A y เท าน น ระยะ x หาได ด งน x A A y ( x) = M A y x M A = Ans y = = 5m 00 39 Statics/ Chapter Force systems -7 แบบฝ กห ด ห วข อ /4 - /6 1. Calculate the magnitude of the moment about the base point O of the 600-N force. [Engineering Mechanics STATICS 5 th edition, Meriam & Kraige] (Ans M O = 610 Nm). The rigid structural member is subjected to a couple consisting of the two 100-N forces. Replace this couple by an equivalent couple consisting of the two forces P and P, each of which has a magnitude of 400 N. Determine the proper angle θ. [Engineering Mechanics STATICS 5 th edition, Meriam & Kraige] (Ans θ = 51.3 ) ร ปส าหร บแบบฝ กห ด ข อ 1 ร ปส าหร บแบบฝ กห ด ข อ 3. Determine and locate the resultant R of the two forces and one couple acting on the I-beam. [Engineering Mechanics STATICS 5 th edition, Meriam & Kraige] (Ans R = -3j kn x = 4.33 m) ร ปส าหร บแบบฝ กห ด ข อ 3 ร ปส าหร บแบบฝ กห ด ข อ 4 40 Statics/ Chapter Force systems Replace the three forces acting on the bent pipe by a single equivalent force R. Specify the distance x from point O to the point on the x-axis through which the line of action of R passes. [Engineering Mechanics STATICS 5 th edition, Meriam & Kraige] (Ans R = -00i + 80j N x = 1.65 m (off pipe)) 41 Statics/ Chapter Force systems -9 สถ ตยศาสตร (Statics) บทท ระบบของแรง (ตอนท 3) ระบบของแรงในสามม ต /7 ระบบพ ก ดฉาก ป ญหาในทางกลศาสตร หลายๆ ป ญหา ต องพ จารณาในสามม ต ระบบพ ก ดพ นฐานท ใช ในการพ จารณาค อระบบพ ก ดฉาก (x-y-z) ด งน นแรง F v ในสามม ต จะสามารถแตกออกได เป น แรง F x, F y และ F z ตามแนวแกน x, y และ z ตามล าด บ ด งแสดงในร ปท 1 ร ปท 1 การแตกแรงในระบบพ ก ดฉาก [1] ขนาดของแรง แรง F x, F y และ F z สามารถค านวณได ตามสมการต อไปน F x = F cos( θ x ) F y = F cos( θ y ) F z = F cos( θ z ) (1) โดย θ x, θ y และ θ z ค อม มท แรง F v กระท าก บแกน x, y และ z ด งแสดงในร ปท 1 ขนาดของแรงรวม จะหาได จากสมการท () F = Fx + Fy + Fz () นอกจากน แรง F v ย งสามารถเข ยนได ในร ปของผลบวกเวคเตอร ของแรงย อยในแนวแกน x, y และ z ได ด งน r F = F iˆ x + F ˆ y j + Fzkˆ (3) r F = F(cosθ iˆ cos ˆ x + θ y j + cosθ zk ˆ) (4) โดย î, ĵ และ kˆ เป นเวคเตอร หน งหน วยในแนวแกน x, y และ z ก าหนดให l = cosθ x, m = cosθ y และ n = cosθ z และเร ยก l, m, n ว า ไดเรกช นโคไซน (Direction Cosine) โดยไดเรกช นโคไซน จะม ค ณสมบ ต ด งแสดงในสมการ (5) 42 Statics/ Chapter Force systems -30 l + m + n = 1 (5) แทนค า l, m, n ลงในสมการ (4) จะได r F = F( liˆ + mj ˆ + nkˆ) (6) จากค ณสมบ ต แสดงในสมการ (5) จะได ว าเวคเตอร ( l iˆ + mj ˆ + nkˆ ) ม ขนาด 1 หน วย ด งน น สมการ (6) จะสามารถเข ยนได ในร ปของขนาดของแรง F ค ณด วยเวคเตอร 1 หน วยในท ศทาง เด ยวก บแรง F v, nˆ F ด งน r F = Fnˆ F (7) สมการ (7) แสดงให เห นว าเวคเตอร ใดๆ สามารถเข ยนให อย ในร ปของ ขนาดของแรง ค ณก บ ท ศทางของแรงซ งแสดงให เห นโดยเวคเตอร หน งหน วย nˆ F ได โดยท วไปการเข ยนเวคเตอร F v ให อย ในระบบแกนพ ก ดฉาก จะสามารถแบ งว ธ เข ยน ตามเง อนไขท ก าหนดมาให ได กรณ ค อ 1) การเข ยนเวคเตอร F v ในกรณ ท ก าหนดจ ด จ ดท เวคเตอร ผ าน และ ) การเข ยนเวคเตอร F v เม อก าหนดม ม ม ม 1. กรณ ก าหนดจ ด จ ดท เวคเตอร ผ าน ร ปท การหาเวคเตอร หน งหน วยซ งผ านจ ด จ ดท ก าหนด [1] จากร ปเวคเตอร F v ม ขนาด F และม ท ศทางท ผ านจ ด A และจ ด B จะสามารถเข ยนเวคเตอร F v ในร ปของขนาดแรงค ณก บเวคเตอร หน งหน วยบอกท ศทาง ด ง แสดงในสมการ (8) ได ด งน โดย r v ค อเวคเตอร ท ช จากจ ด A ไปย งจ ด B และ AB r r AB = r r v AB F = Fnˆ F = F v (8) r AB x x i y y ˆ 1)ˆ + ( 1) j + ( z ( 1 z ) kˆ (9) ด งน น r F = F ( x ( x x )ˆ i + ( y 1 x ) 1 + ( y y ) ˆj + ( z 1 y ) 1 + ( z z ) kˆ 1 z ) 1 (10) 43 Statics/ Chapter Force systems -31 จากสมการ (10) ถ าทราบพ ก ดจ ด A และจ ด B จะสามารถเข ยนเวคเตอร ท ผ านจ ดท งสองได. กรณ ก าหนดม มให ม ม ร ปท 3 การหาเวคเตอร หน งหน วยเม อก าหนดม มท แรงกระท าก บแกนมาให [1] จากร ปท 3 การเข ยนเวคเตอร F v ให อย ในระบบแกนพ ก ดฉาก ท าได โดยแตกเวคเตอร F v ออกเป นส วนประกอบย อยๆ ด งน 1. แตกเวคเตอร เป นส วนประกอบในแนวด ง และแนวระด บบนระนาบ xy ส วนประกอบในแนวด ง F z = F sinφ (11) ส วนประกอบในแนวระด บ F xy = F cosφ. แตกส วนประกอบในแนวระด บ เป นส วนประกอบในแนวแกน x, y ส วนประกอบตามแกน x Fx = Fxy cosθ = F cosφ cosθ (1) ส วนประกอบตามแกน y Fy = Fxy sinθ = F cosφ sinθ (13) 3. แทนส วนประกอบของเวคเตอร ตามแกน x, y และ z ในสมการ (11) (13) ลงในสมการ (3) จะสามารถเข ยนเวคเตอร ให อย ในระบบแกนพ ก ดฉากตามต องการ 44 Statics/ Chapter Force systems -3 Dot Product P r F r r F n = ( F r n ˆ) n ˆ α P cos(α ) Q r F n = F r n ˆ n r (ก) (ข) ร ปท 4 การดอทเวคเตอร (Dot product) น ยามของการดอทเวคเตอร P v และ Q v ด งแสดงในร ปท 4(ก) แสดงด งสมการ (14) โดย α ค อม มระหว างเวคเตอร P v และ Q v และค าท ได จากการดอทจะเป น สเกลาร P r Q r = PQ cos(α ) (14) เม อท าการจ ดร ปสมการ (14) เส ยใหม จะได ผลการดอทเวคเตอร ด งน P r Q r = ( P cos(α ))Q P Q r หร อ r = [ภาพฉายของ P v บน Q v ](Q) (15) จากสมการ (15) สามารถกล าวได ว า ผลการดอทเวคเตอร P v และ Q v ค อการน าเอา ภาพฉายของ P v บน Q v มาค ณด วยขนาดของเวคเตอร Q v ในทางกล บก น ก สามารถ กล าวได ว าผลการดอทเวคเตอร P v และ Q v ค อการน าเอาภาพฉายของ Q v บน P v มาค ณด วย ขนาดของเวคเตอร P v ก ได ในกรณ ท เป นการดอทก นของเวคเตอร F r และ เวคเตอร หน งหน วย nˆ ด งแสดงในร ปท 4(ข) ผลการดอทจะได ด งน v F nˆ = F(1) cos( α ) = F cos( α ) (16) จากสมการ (16) จะพบว าการดอทก นของเวคเตอร ใดๆ ก บเวคเตอร หน งหน วยน น จะ ได ขนาดของภาพฉายของเวคเตอร น นๆ บนเวคเตอร หน งหน วย (เน องจากค าท ได จากการดอท จะเป น สเกลาร ) ส าหร บเวคเตอร ภาพฉายของเวคเตอร ใดๆ บนเวคเตอร หน งหน วยน น สามารถหาได จากสมการ (17) v = ( F v nˆ) nˆ (17) F n ค ณสมบ ต อ นๆ ของการดอทเวคเตอร ม ด งน 1. เวคเตอร หน งหน วยซ งม ท ศทางเด ยวก นดอทก นม ค าเท าก บ 1 i ˆ iˆ = ˆj ˆj = kˆ kˆ = 1 (18). เวคเตอร หน งหน วยท ศทางต งฉากก นดอทก นม ค าเท าก บ 0 i ˆ ˆj = ˆj iˆ = iˆ kˆ = kˆ iˆ = ˆj kˆ = kˆ ˆj = 0 (19) 45 Statics/ Chapter Force systems -33 ม มระหว างเวคเตอร P v v P α Q v ร ปท 5 ม มระหว างเวคเตอร v v เม อเวคเตอร เวคเตอร อย ในระนาบเด ยวก น เช นเวคเตอร P และ Q ด งแสดงในร ป ท 5 แล ว การหาม มระหว างเวคเตอร สามารถท าได ง ายโดยเล อนให หางของเวคเตอร ท ง มาชน ก น แล วว ดม ม อย างไรก ตามหากเวคเตอร ท งสองอย คนละระนาบด งเช นเวคเตอร P v และ Q v แล ว การหาม มโดยตรงจะท าได ยาก ในกรณ น การหาม มจะท าได ง ายข นโดยใช ผลของการดอท เวคเตอร จากน ยามการดอทเวคเตอร P r Q r = PQ cos(α ) (14) จะสามารถหาม มระหว างเวคเตอร ได ด งน ในกรณ ท ม เวคเตอร หน งเป นเวคเตอร หน งหน วยจะได P r Q r 1 θ = cos (15) PQ r P nˆ = cos 1 P θ (16) ถ าผลของการดอทเวคเตอร ม ค าเป น 0 โดยเวคเตอร ต งต นไม เท าก บศ นย จากสมการ (14) จะได ว าม มของเวคเตอร ท งสองต องท าม มก นเท าก บ 90º เอกสารอ างอ ง [1] J.L.Meriam and L.G.Kraige, Engineering mechanics STATICS fifth edition SI Version, John Wiley & Sons, Inc., 003. 46 Statics/ Chapter Force systems -34 /8 The tension in the supporting cable BC is 300 N. Write the force which this cable exerts on the boom OAB as a vector T. Determine the angle θ x, θ y, and θ z which the line of action of T forms with the positive x-, y-, and z-axes. [Engineering Mechanics Statics 5 th edition, Meriam & Kraige, prob./103] ว ธ ท า เน องจากแนวแรง T ผ านจ ด B และจ ด C จ งต องหาพ ก ดจ ด B ก บจ ด C ก อน พ ก ดจ ด B : (1.5,.1, 0.45) พ ก ดจ ด C : (1.8, 0, 0.9) เวคเตอร BC : BC = 0.3ˆ i.1ˆj kˆ เวคเตอร หน งหน วยในท ศทาง BC : ˆ n BC = 0.3ˆ i.1ˆj kˆ = ˆ i ˆj kˆ เวคเตอร ของแรง T v v T = T nˆ = 300(0.1383ˆ i ˆj 0.075kˆ ) BC BC BC + v T BC = 44.56ˆ i ˆj kˆ Ans หาม มท ท าก บแกน x v v จาก [ P Q = PQ cosθ ] n ˆ i ˆ = (1)(1)cosθ BC cosθ = (0.1383ˆ i ˆj kˆ) (ˆ) i x x cos θ x = o θ x = 8.05 Ans 47 Statics/ Chapter Force systems -35 ท านองเด ยวก น หาม มท ท าก บแกน y v v จาก [ P Q = PQ cosθ ] nˆ ˆj = (1)(1)cosθ BC cosθ = (0.1383ˆ i ˆj kˆ) ( ˆ) j y y cosθ y = o θ y = Ans หาม มท ท าก บแกน z v v จาก [ P Q = PQ cosθ ] n ˆ k ˆ = (1)(1)cosθ BC cosθ = (0.1383ˆ i ˆj kˆ) ( kˆ) z z cos θ z = o θ z = 78.0 Ans 48 Statics/ Chapter Force systems -36 แบบฝ กห ด ห วข อ /7 1. A force F with a magnitude of 100 N is applied at the origin O of the axes x-y-z as shown. The line of action of F passes through a point A whose coordinates are 3m, 4m and 5m. Determine (a) the x, y and z scalar components of F, (b) the projection Fxy of F on the x-y plane, and (c) the projection FOB of F along the line OB. [Engineering Mechanics STATICS 5 th edition, Meriam & Kraige] (Ans (a) F x = 4.4 N, F y = 56.6 N, F z = 70.7 N (b) F xy = 70.7 N (c) F OB = 84.4 N). The cable BC carries a tension of 750 N. Write this tension as a force T acting on point B in terms of the unit vector i, j and k. The elbow at A forms a right angle. [Engineering Mechanics STATICS 5 th edition, Meriam & Kraige] (Ans T = -598i + 411j k N) ร ปส าหร บแบบฝ กห ด ข อ 1 ร ปส าหร บแบบฝ กห ด ข อ 49 Statics/ Chapter Force systems -37 สถ ตยศาสตร (Statics) บทท ระบบของแรง (ตอนท 4) /8 โมเมนต และค บเป ล ในป ญหาสองม ต การหาโมเมนต ม กจะท าโดยว ธ สเกลาร โดยการหาผลค ณระหว างแรง และระยะต งฉากระหว างแรงก บจ ดหม น อย างไรก ตามในกรณ ของป ญหาสามม ต การหาระยะต ง ฉากท าได ย งยากกว าในสองม ต มาก ว ธ เวคเตอร จ งเป นอ กทางเล อกหน ง ซ งม กถ กใช ในการ ค านวณหาโมเมนต โมเมนต ในสามม ต ร ปท 1 โมเมนต ในสามม ต [1] ร ปท 1 แสดงถ งแรง F v กระท าต อว ตถ ท าให เก ดโมเมนต M v O รอบจ ด O โมเมนต หา ได โดยว ธ การเวคเตอร ด งแสดงในสมการ (1) v v v M O = r F (1) โดย r v ค อเวคเตอร ช จากจ ดหม น O ไปย งจ ดใดๆ บนแนวแรง F v M v O ค อโมเมนต รอบจ ด O ท ศทางของโมเมนต M v O ม ท ศทางตามกฎม อขวา (น วม อท ง 4 ช ตามท ศเวคเตอร r v แล วกวาดม อตามท ศทางของแรง F v ท ศการช ของน วห วแม ม อค อท ศทางของโมเมนต ) ในป ญหาสองม ต น ส ตอาจจะค นเคยก บการหาโมเมนต รอบแกนใดๆ ซ งแกนการหม นจะ ม ท ศทางขนานก บแกน z ส วนในสามม ต จะม ค าว าโมเมนต รอบจ ดเพ มเข ามา ค าว าโมเมนต รอบ จ ดน จร งๆ แล วก ค อโมเมนต รอบแกนใดแกนหน ง โดยท แกนน นผ านจ ดน นเอง 50 Statics/ Chapter Force systems -38 ต วอย างโมเมนต ในสามม ต ต วอย างท 1 ร ปท ต วอย างโมเมนต ในสามม ต [] ต วอย างน แสดงให เห นโมเมนต ซ งเก ดจากการออกแรง F v หม นท อ ในร ปท (a) แรง กระท าในท ศทาง x ท าให เก ดโมเมนต ท ศทางช ข นตามแกน z ในกรณ น โมเมนต รอบจ ด O ค อ โมเมนต รอบแกน z น นเอง ส วนในร ปท (b) เม อออกแรงกระท าในท ศทาง +z จะท าให เก ด โมเมนต ในท ศทางหม นรอบแกน x ในกรณ น โมเมนต รอบจ ด O ค อโมเมนต รอบแกน x น นเอง อย างไรก ตามถ าออกแรงในท ศทางซ งไม ขนานก บแกนพ ก ด x-y-z จะท าให เก ดโมเมนต รอบแกนใดๆ ซ งไม ใช แกน x-y-z เช นก น ในกรณ น โมเมนต รอบจ ด O จะไม เท าก บโมเมนต รอบ แกน x, y หร อ z แต จะเท าก บผลรวมของโมเมนต รอบแกน x, y และ z ต วอย างท (a) (b) ร ปท 3 ต วอย างโมเมนต ในสามม ต [] ต วอย างน แสดงถ งการใช ประแจข นสล กเกล ยว ร ปท 3(a) แสดงการข นท ออกแรงในแนว ระด บ ท ระด บเด ยวก บจ ดหม น A ท าให เก ดโมเมนต ท ศทางตามแกน z ในกรณ น โมเมนต รอบจ ด A จะม ค าเท าก บโมเมนต รอบแกน z ส าหร บร ปท 3(b) แรงท ออกจะอย ท ระด บส งกว าจ ด A ท าให เก ดโมเมนต M A ซ งก ค อโมเมนต รอบจ ด A น นเอง จะเห นว ากรณ น โมเมนต รอบจ ด A ม ค าไม เท าก บโมเมนต รอบแกน z โมเมนต รอบแกน z เป นเพ ยงแค ส วนประกอบหน งของโมเมนต รอบ จ ด A เท าน น 51 Statics/ Chapter Force systems -39 การหาโมเมนต โดยการครอสเวคเตอร จากสมการ (1) จะสามารถหาโมเมนต ได ด งน z y x z y x o F F F r r r k j i F r M ˆ ˆ ˆ = = r r r () k F r F r j F r F r i F r F r M x y y x z x x z y z z y o ˆ ) ( ˆ ) ( )ˆ ( + + = r (3) k M j M i M M z y x o ˆ ˆ ˆ + + = r โดย y z z y x F r F r M = z x x z y F r F r M = x y y x z F r F r M = (4) ร ปท 4 การหาโมเมนต ในสามม ต [1] การหาโมเมนต รอบแกนต างๆ ตามสมการ (4) สามารถหาได จากว ธ การสเกลาร เช นก น โดยค ณส วนประกอบของแรงในแต ละแกน เข าก บระยะต งฉากระหว างแนวแรงก บแกนหม น (ด ร ปท 4) โดยต องระว งว าแรงในแนวเด ยวก บแกน จะไม ท าให เก ดโมเมนต รอบแกนน น น นค อ แรงในแนว x จะไม ท าให เก ดโมเมนต รอบแกน x และแรงท ผ านแนวแกน จะไม ท าให เก ดโมเมนต รอบแกนน น เช น โมเมนต รอบแกน x, M x เก ดจากแรงซ งช ไปท ศทาง y และท ศทาง z โมเมนต รอบแกน x ซ งเก ดจากแรง F y ค อ r z F y เน องจากโมเมนต ของแรงน ม ท ศช ไปทางลบจ งม ค าต ด ลบ ส วนโมเมนต รอบแกน x ซ งเก ดจากแรง F z ค อ r y F z เน องจากท ศของโมเมนต ช ไปทางบวก จ งม ค าบวก และจะได โมเมนต รอบแกน x ท งหมดค อ y z z y x F r F r M = เช นก น ส าหร บ โมเมนต รอบแกนอ นๆ ก พ จารณาได เช นเด ยวก น 52 Statics/ Chapter Force systems -40 โมเมนต รอบแกนใดๆ จากร ปท 3(b) จะพบว าโมเมนต รอบแกน z เป นส วนประกอบหน งของโมเมนต รอบจ ด A การหาโมเมนต รอบแกน z จ งท าได โดยหาโมเมนต รอบจ ดก อน แล วจ งแตกให โมเมนต เข าไปอย ตามแกน z การหาโมเมนต รอบแกนใดๆ ก สามารถท าได โดยใช หล กการเด ยวก น ด งต วอย าง ต อไปน ร ปท 5 การหาโมเมนต รอบแกนใดๆ [1] พ จารณาร ปท 5 ต องการหาโมเมนต รอบแกน λ, M λ ข นตอนท 1 หาโมเมนต รอบจ ดใดๆ บนแกน λ ในท น จะท ารอบจ ด O v M O v v = r F ข นตอนท หาขนาดส วนประกอบของโมเมนต M v O บนแกน λ โดยการดอทเวคเตอร ของ โมเมนต เข าก บเวคเตอร หน งหน วยในท ศทาง λ, nˆ โดยผลล พธ จากการดอทจะเป นปร มาณ สเกลาร v M v v = ( r F) nˆ λ (5) ข นตอนท 3 โมเมนต รอบแกน λ ค อผลค ณของขนาดของโมเมนต ท หาได จากสมการ (5) ก บ เวคเตอร แสดงท ศทางของโมเมนต ซ งก ค อเวคเตอร หน งหน วยในท ศทาง λ น นเอง v v v M = [( r F) nˆ] nˆ λ (6) ทฤษฎ บทของ Varignon ส าหร บสามม ต (Varignon s Theorem in Three Dimensions) ทฤษฎ บทของ Varignon กล าวไว ว า ผลรวมของโมเมนต ย อยๆ ซ งเก ดจากแรงหลายๆ แรงรอบจ ดหม นท ก าหนด ม ค าเท าก บโมเมนต ซ งเก ดจากผลรวมของแรงย อยๆ รอบจ ดหม นน น (ด ร ปท 6 ประกอบ) ทฤษฎ บทของ Varignon สามารถน ามาเข ยนเป นสมการคณ ตศาสตร ได ด ง แสดงในสมการ (7) v M O v v v v v v v v v v = r F F v v v v v v v M O = r F) = r F = r R 1 + r F + r F3 + K = r ( F1 + F K ( (7) ) 53 Statics/ Chapter Force systems -41 ร ปท 6 การหาโมเมนต ของแรงย อยๆ ร ปท 7 ค บเป ลในสามม ต [1] ด วยทฤษฎ บทของ Varignon [1] ค บเป ลในสามม ต ค บเป ลหมายถ ง โมเมนต ซ งเก ดจากแรงสองแรงท ม ขนาดเท าก น แต ม ท ศทางตรงก น ข ามก น ร ปท 7 แสดงการหาค บเป ลในสามม ต สมม ต ให จ ด O เป นจ ดหม น r r r r r r r r M = A F + B ( F) = ( A B ) F (8) r v r M = r F (9) จากสมการ (9) จะพบว าค บเป ลไม ข นก บจ ดหม น O เลย ข นอย เพ ยงแรง F v และ เวคเตอร ท ช ระหว างแนวแรงท งค r v โดยเวคเตอร r v จะช จากจ ดไหนบนแนวแรง F v ไปย งจ ด ไหนบนแนวแรง F v ก ได และเน องจากค บเป ลม ค าเท าก นไม ว าจ ดหม นจะอย ท ใด ค บเป ลจ งถ อ ว าเป น Free Vector ซ งจะต างก บโมเมนต ซ งขนาดจะข นอย ก บต าแหน งจ ดหม น โมเมนต จ งถ อ ว าเป น Sliding Vector ส าหร บท ศทางของค บเป ลก สามารถหาได โดยกฎของม อขวาเช นเด ยวก น ร ปท 8 การรวมค บเป ล [1] ร ปท 8 แสดงถ งการรวมค บเป ลย อยจากแรง F v 1 และ F v เข าด วยก น เน องจากค บเป ล เป น Free vector การรวมจ งสามารถรวมค บเป ลย อยๆ เข าโดยตรงแบบเวคเตอร หร ออาจจะ รวมแรง F v 1 และ F v เข าเป นแรง F v ก อน จ งหาค บเป ลจากแรง F v ก ได 54 Statics/ Chapter Force systems -4 ระบบของแรงและค บเป ลในสามม ต ในห วข อ /5 ได กล าวถ งการย ายแรงไปท ต าแหน งอ น และเข ยนแทนแรงเด มด วยแรง และค บเป ล ในกรณ ม ต มาแล ว ในห วข อน ก เช นเด ยวก น เพ ยงแต แรงและค บเป ลจะอย ใน 3 ม ต เท าน น ข นตอนการย ายแรงแสดงด งร ปท 9 1. แรง F v กระท าท จ ด A. เพ มแรง F v และ F v ท จ ด B เน องจากแรงล พธ ท เพ มเข าไปในระบบม ค าเป นศ นย การเพ มแรงเข าไปจ งไม ส งผลกระทบใดๆ ต อระบบ 3. จากร ปกลาง จะพบว าแรง F v เด ม และแรง F v ท เพ มเข าไปสามารถจ บค ก นเป น ค บเป ลได 4. เข ยนแทนแรง F v และ F v r v r ด วยค บเป ล M = r F โดยท ศทางของค บเป ลจะ ต งฉากก บแรง F v ด งแสดงในร ปขวาม อ ร ปท 9 ระบบของแรงและค บเป ลในสามม ต [1] เอกสารอ างอ ง [1] J.L.Meriam and L.G.Kraige, Engineering mechanics STATICS fifth edition SI Version, John Wiley & Sons, Inc., 003. [] R.C.Hibbeler, Engineering mechanics STATICS 11 th Edition in SI units, Pearson Prentice Hall, 007. 55 Statics/ Chapter Force systems -43 /9 Tension in cable AB is N. Determine the moment about the x-axis of this tension force acting on point A. Compare your result to the moment of the weight W of the 15-kg uniform plate about the x-axis. What is the moment of the tension force acting at A about line OB. [Engineering Mechanics Statics 5 th edition, Meriam & Kraige, prob./19] ว ธ ท า เน องจากต องการหาโมเมนต เน องจากแรงต งในเคเบ ล AB ด งน น จ งต องเข ยนแรงต ง T AB ให อย ในร ปเวคเตอร เส ยก อน พ ก ดจ ด A : (0.7, 0.45cos0º, -0.45sin0º) หร อค อ (0.7, 0.49, ) พ ก ดจ ด B : (0.35, 0, 0.4) เวคเตอร AB : AB = 0.35ˆ i 0.49 ˆj kˆ เวคเตอร หน งหน วยในท ศทาง AB : ˆ n AB 0.35ˆ i 0.49 ˆj kˆ = = ˆ i ˆj kˆ เวคเตอร ของแรง T v AB v T T nˆ 143.4( ˆ i ˆ AB = AB AB = j + v = ˆ i ˆj kˆ T AB kˆ) ต องการหาโมเมนต รอบแกน x ข นแรกต องหาโมเมนต ท จ ดใดๆ บนแกน x ก อน ในท น จะเล อกจ ดหาโมเมนต รอบจ ด O 56 Statics/ Chapter Force systems -44 จาก v M v v = r O T AB ต องหาเวคเตอร r ซ งเป นเวคเตอร ช จากจ ดหม น O ไปย งจ ดใดๆ บนแนวแรง T AB ก อน ในท น จะเล อกให r ช ไปท จ ด B (น ส ตสามารถเล อกให r เป นเวคเตอร ท ช จาก O ไปย งจ ด A ก ได ) r v = r v OB = 0.35ˆ i + 0.4kˆ v M O v = r OB v T AB = iˆ ˆj kˆ v M O = ˆ i ˆj 7.180kˆ ต องการหาโมเมนต รอบแกน x ท าได โดยน าโมเมนต รอบจ ดท ได ดอทก บเวคเตอร หน ง หน วยตามแนวแกน x หร อ เวคเตอร i M v x = M v O iˆ = ( ˆ i ˆj 7.180kˆ) iˆ M v = 31.1 Nm Ans x หาโมเมนต จากน าหน กประต รอบแกน x z 0.45 m y 0º v = M x M v x 0.45 o (15)(9.81)( cos 0 ) = 31.1 Nm Ans W = 15(9.81) N หาโมเมนต ของแรงต ง T AB รอบแกน OB เน องจากแรงต ง T AB ผ านแกน OB ด งน นจ งไม เก ดโมเมนต ข น น นค อ M OB = 0 Nm Ans ลองท าด ค านวณ M OB จาก M v OB = M v O nˆ OB 57 Statics/ Chapter Force systems -45 แบบฝ กห ด ห วข อ /8 1. A Tension T of magnitude 10 kn is applied to the cable attached to the top A of the rigid mast and secured to the ground at B. Determine the moment Mz of T about the z-axis passing through the base O. [Engineering Mechanics STATICS 5 th edition, Meriam & Kraige] (Ans M z = -84.9k knm). A force of 400 N is applied at A to the handle of the control lever which is attached to the fixed shaft OB. In determining the effect of the force on the shaft at a cross section such as that at O, we may replace the force by an equivalent force at O and a couple. Describe this couple as a vector M. [Engineering Mechanics STATICS 5 th edition, Meriam & Kraige] (Ans M = 94.3 Nm θ = 3.0 on y-z plane) 3. If the magnitude of the moment of F about line CD is 50 Nm, determine the magnitude of F. [Engineering Mechanics STATICS 5 th edition, Meriam & Kraige] (Ans F = 8 N) ร ปประกอบแบบฝ กห ดข อ 1 ร ปประกอบแบบฝ กห ดข อ ร ปประกอบแบบฝ กห ดข อ 3 58 Statics/ Chapter Force systems -46 สถ ตยศาสตร (Statics) บทท ระบบของแรง (ตอนท 5) /9 Resultants ในห วข อ /6 ได กล าวถ ง Resultants ในสองม ต มาแล วคร งหน ง ในห วข อน จะได ขยาย ความเร อง Resultants หร อการรวมแรงและค บเป ลให เป นร ปอย างง าย ในป ญหาสามม ต ร ปท 1 การหา Resultants ในสามม ต [1] ร ปท 1 แสดงถ งการหา Resultants ในสามม ต แรง F v 1, F v และ F v 3 กระท าก บว ตถ ตาม แสดงในร ปท 1(a) ข นตอนในการแทนแรงท งสามน ด วยแรงและค บเป ล ซ งกระท าท จ ด O ม ด งน 1. ท าการย ายแรง F v 1 มาท จ ด O จะเก ดค บเป ล M v 1 ข น โดยค บเป ลน ม ขนาดเท าก บ v M v v 1 = r1 F1. ท าเช นเด ยวก น ก บแรง F v และ F v 3 จะได ว าแรงท กแรง กระท าผ านท จ ด O ท งหมด ด งแสดงด งร ปท 1(b) 3. รวมแรงท งสามแรง เป นแรง R v เพ ยงแรงเด ยว และรวมค บเป ลท งสามค บเป ล เป น ค บเป ล M v เพ ยงค บเป ลเด ยว ด งแสดงในร ปท 1(c) โดย v v v v v R = F1 + F + F3 + K = F v v v v v v M = M + M + M + K = ( r ) 1 3 F การรวมแรงและโมเมนต ในระบบพ ก ดฉากสามารถรวมได ด งน R x = Fx, R y = Fy, R z = Fz, R = ( Fx ) + ( Fy ) + ( Fz ), v v v v v v v v M ( r F), M ( r F), ( r x = x M = M + M + M x y z y = y v M ) z = F z, (1) 59 Statics/ Chapter Force systems -47 เน องจากการย ายแรงมาท จ ด O ท าให เก ดค บเป ล ซ งม ค าเสม อนโมเมนต โดยท ใช จ ด O เป นจ ดหม น ด งน นการเล อกจ ด O ท แตกต างก นก จะท าให ค านวณค าค บเป ลรวมได ต างก นด วย อย างไรก ตาม ไม ว าจะเล อกจ ดใด ก จะได ค าแรงรวมท เหม อนเด ม ความแตกต างระหว าง Resultants ในสองม ต ก บสามม ต F r B B M=Fd F r A A D ร ปท Resultants ในสองม ต และสามม ต M r M r M r O 1 3D R r เม อเปร ยบเท ยบการหา Resultants ในกรณ ม ต ก บ 3 ม ต แล ว ถ งแม ว าท งสองกรณ จะม ว ธ การท เหม อนก น แต ด วยล กษณะของท ศทางแรงกระท า จะท าให การลดร ปแรงต างๆ เป น ร ปอย างง ายได แตกต างก น ส าหร บกรณ ม ต เม อลดร ปแรงต างๆ ให เป นแรงแรงเด ยวและค บเป ลได แล ว เน องจาก ท ศทางของค บเป ลก บแรงต งฉากก น ด งน นจะสามารถลดร ปอย างง ายให เหล อเพ ยงแรงแรงเด ยว v v v ได ด งแสดงในร ปท กรณ ม ต (เน องจาก M = r F ด งน นท ศทางของโมเมนต หร อ ค บเป ล ก บท ศทางของแรงจะต งฉากก นเสมอ) อย างไรก ตามในกรณ 3 ม ต เน องจากท ศทางของค บเป ลล พธ ไม ได ต งฉากก บท ศทาง ของแรงล พธ (ด ร ปท กรณ 3 ม ต ) ด งน นจ งไม สามารถจ งย บแรงและค บเป ลให เป นแรงล พธ เพ ยงแรงเด ยวได กรณ ต างๆ ของแรงใน 3 ม ต 1. แรงท แนวแรงต ดก นท จ ดจ ดเด ยว (Concurrent forces) ในกรณ น Resultant จะเป นแรงล พธ เพ ยงอย างเด ยว โดยแรงล พท จะต องผ านจ ดท แนว แรงย อยๆ ต ดก นด วย. แรงขนานก น แต อย คนละระนาบก น (Parallel forces) ในกรณ น Resultant จะเป นแรงล พธ เพ ยงอย างเด ยวเช นก น แต ถ าแรงล พธ รวมม ค าเป น ศ นย Resultant จะเป นค บเป ล ในท ศทางต งฉากก บแนวแรงน น 3. กรณ แรงอย ในระนาบเด ยวก น (Coplanar forces) กรณ น ค อป ญหา ม ต ตามท ได กล าวมาแล ว 60 Statics/ Chapter Force systems -48 Wrench resultant ในกรณ ของป ญหา ม ต ระบบของแรงสามารถลดร ปได เหล อเพ ยงแรงแรงเด ยว หร อ ค บเป ลเด ยว อย างไรก ตามในป ญหา 3 ม ต ไม สามารถลดร ปให เหล อแรงแรงเด ยว หร อค บเป ล เด ยวในท กๆ กรณ ได อย างไรก ตามระบบแรงใน 3 ม ต จะสามารถลดร ปให อย ในร ปของ Wrench resultant ด งแสดงในร ปท 3 ได ร ปท 3 Wrench resultant [1] Wrench resultant ค อระบบท ประกอบด วยแรง 1 แรง และค บเป ลท ม ท ศทางเด ยวก น หร อท ศตรงก นข ามก บแรงน น โดยถ าแรงและค บเป ลม ท ศเด ยวก น จะเร ยกว า Positive wrench แต ถ าม ท ศทางตรงก นข ามจะเร ยกว า Negative wrench ว ธ การเปล ยนร ปแรงและค บเป ลท ได ในร ปท 1(c) ให เป น Wrench resultants ท าได ตาม ข นตอนแสดงในร ปท 4 ด งน ร ปท 4 การเปล ยนระบบแรงและค บเป ล เป น Wrench resultant [1] 61 Statics/ Chapter Force systems แตกค บเป ลให อย ในท ศทางเด ยวก บแรง และท ศต งฉากก บแรง ด งแสดงในร ปท 4(b). ส าหร บโมเมนต M v ท ม ท ศทางต งฉากก บแรง จะสามารถเข ยนแทนได ด วย แรงค ควบ R v และ R v ซ งห างก นเป นระยะ d โดย M = Rd ด งแสดงในร ปท 4(c) 3. แรง R v และ R v ซ งอย ในแนวเส นตรงเด ยวก น ในร ปท 4(c) จะห กล างก นหมดไป เหล อเพ ยงแรง R v และค บเป ล M v 1 ซ งม ท ศทางเด ยวก บท ศของแรง เน องจากค บเป ล เป น Free vector ด งน นจ งสามารถย ายค บเป ลมาต อก บแรงได ด งแสดงในร ปท 4(d) เอกสารอ างอ ง [1] J.L.Meriam and L.G.Kraige, Engineering mechanics STATICS fifth edition SI Version, John Wiley & Sons, Inc., 003. 62 Statics/ Chapter Force systems -50 /10 The resultant of the two forces and couple may be represented by a wrench. Determine the vector expression for the moment M of the wrench and find the coordinates of the point P in the x-z plane through which the resultant force of the wrench passes. [Engineering Mechanics Statics 5 th edition, Meriam & Kraige, prob./149] ว ธ ท า จากร ปโจทย แรงล พธ R = 100 iˆ ˆj v R v = = 100 หาท ศทางท แรงล พธ กระท าก บแกน x-y-z v จาก R iˆ = R(1) cosθ x ด งน น ท านองเด ยวก น R 100 cos θ = x x = = R 100 R y 100 cos θ y = = = R 100 v R iˆ cosθ = R 1 1 x = Rx R R 0 cos θ = z z = = 0 R 100 สมม ต ให Wrench resultant ผ านจ ด P บนระนาบ x-z ด งน น เม อย ายแรง ท งหมดไปท จ ด P แล ว จะเก ดค บเป ลข น ซ งม ขนาดเท าก บผลรวมของโมเมนต ของแรงย อยๆ รอบจ ด P และค บเป ลท เก ดข นน จะม ท ศทางเด ยวก บแรงล พธ R 63 Statics/ Chapter Force systems -51 z P x v M P v M P = 100( z)ˆ i + 100(0.4 x) kˆ 100(0.3) kˆ + 100(0.4 z) ˆj 0 ˆj = 100ziˆ + (0 100z) ˆj + (10 100x) kˆ (1) เน องจาก สมม ต ให Wrench resultant ผ านจ ด P ด งน นค บเป ลท เก ดข นน จะม ท ศทางเด ยวก บแรงล พธ R v M iˆ = M (1) cosθ ท านองเด ยวก บแรง ด งน น M x 100z cos θ x = = = M M x 1 v M iˆ cosθ = M x = M M x () ท านองเด ยวก น M y 0 100z cos θ y = = = M M 1 (3) M y x cos θ z = = = 0 M M (4) แก ระบบสมการ (), (3) และ (4) จะได = 0. 1 x z = 0. 1 M =10 พ ก ดจ ด P : x = z = 0.1 m Ans แทนค า x และ z ลงในสมการ (1) จะได v M P =10 iˆ + 10 ˆj Nm Ans 64 Statics/ Chapter Force systems -5 แบบฝ กห ด ห วข อ /9 1. Determine the wrench resultant of the three forces acting on the bracket. Calculate the coordinates of the point P in the x-y plane through which the resultant force of the wrench acts. Also find the magnitude of the couple M of the wrench. [Engineering Mechanics STATICS 5 th edition, Meriam & Kraige] (Ans M = -400 Nmm, x = 60 mm, y = 40 mm). Replace the system of two forces and couple by a wrench. Determine the magnitude of the moment M of the wrench, the magnitude of the force R of the wrench, and the coordinate of the point P in the x-y plane through which R passes. [Engineering Mechanics STATICS 5 th edition, Meriam & Kraige] (Ans R = -0i 37.9j k kn M = 45.3j k knm) ร ปประกอบแบบฝ กห ดข อ 1 ร ปประกอบแบบฝ กห ดข อ 65 Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-1 สถ ตยศาสตร (Statics) บทท 3 สภาพสมด ล (ตอนท 1) 3/1 บทน า สภาพสมด ล เป นสภาพท ว ตถ หย ดน ง หร อเคล อนท ในท ศทางตรง (ไม ม การเปล ยนท ศ ทางการเคล อนท ) ด วยความเร วคงท ตามกฎข อท สองของน วต นพบว า ว ตถ จะอย ในสภาพ สมด ลได เม อ Resultant ของท กๆ แรงและโมเมนต ท กระท าก บว ตถ ม ค าเป น 0 หร อเข ยนได ด ง สมการท (1) ด งน v r R = F v v และ M = M = 0 = 0 (1) เน องจากว ตถ ในธรรมชาต ม ล กษณะเป นสามม ต ด งน นการพ จารณาป ญหาสภาพสมด ล จ งควรค ดเป นป ญหาสามม ต อย างไรก ตาม ถ าแรงท กๆ แรง กระท าในระนาบเด ยวก นท งหมด จะพ จารณาป ญหาเป นป ญหาสมด ลในสองม ต ได ส าหร บในส วนแรกของบทน จะกล าวถ ง ป ญหา สภาพสมด ลในสองม ต และจ งกล าวถ งป ญหาสภาพสมด ลในสามม ต ในส วนหล งของบทต อไป Section A สภาพสมด ลในสองม ต 3/ การเข ยน Free-body diagram จากสมการท (1) พบว าการแก ป ญหาสมด ล จ าเป นท จะต องทราบแรง และโมเมนต ท งหมดท กระท าก บว ตถ ก อน เน องจากว ตถ ท เราพ จารณาน นอาจม แรงภายนอก หร อแรง เน องจากน าหน กกระท า แรงพวกน เห นได ช ดเจน และม กจะไม ม ป ญหาในการพ จารณา อย างไร ก ตาม โดยปกต ว ตถ ท พ จารณาม กจะม การเช อมต อก บว ตถ ช นอ นๆ ซ งจะต องม แรงกระท า ระหว างก นอย ด วย การพ จารณาป ญหาสมด ล จ งต องแยกแยะให ช ดเจนก อนว า จะพ จารณา ว ตถ ใด และว ตถ ท พ จารณาน นม แรงใดกระท าอย บ าง แรงท กระท าหมายถ ง แรงภายนอก แรงเน องจากน าหน ก และแรงเน องจากการเช อมต อของว ตถ ท ก าล งพ จารณาก บว ตถ อ น การแยกว ตถ ท พ จารณาให เห นได อย างช ดเจนและเข ยนแรงท กระท าก บว ตถ น น เร ยกว า การเข ยน Free-body diagram ก อนท จะศ กษาถ งว ธ การเข ยน Free-body diagram จะกล าวถ งการพ จารณาแรง เน องจากการเช อมต อ หร อส มผ สก นของว ตถ ก อน 66 Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3- แรงเน องจากการเช อมต อ ร ปท 1 แสดงถ งแรงกระท าเน องจากการเช อมต อของว ตถ ท พ จารณาก บว ตถ อ น โดย ทางด านซ ายม อ จะแสดงถ งร ปการเช อมต อ ส วนทางด านขวาม อ จะแสดงถ งแรงท กระท าก บ ว ตถ ท พ จารณา ร ปท 1 แรงท กระท าเน องจากการเช อมต อในสองม ต [1] ต วอย างท 1 แรงด งท เคเบ ลกระท าก บคาน เคเบ ล หร อเช อกเป นช นส วนท สามารถร บได เฉพาะแรงด งเท าน น ไม สามารถร บแรงกดได เน องจากถ าร บแรงกดเช อก หร อเคเบ ลจะหย อน ท าให ไม สามารถใช งานได เม อพ จารณาท คาน เน องจากคานได ร บแรงด งจากเคเบ ล แรงท กระท าก บคานจ งม ท ศพ งออกจากคาน และม ท ศทางเด ยวก บท ศทางการข งเคเบ ล ด งแสดงในร ป ท 1 (ในทางตรงก นข าม ถ าเล อกพ จารณาท เคเบ ล จะพบว าแรงจะต องพ งออกจากเคเบ ลเช นก น 67 Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-3 เน องจากต องเป นแรงด ง) ถ าพ จารณาน าหน กของเคเบ ล จะพบว าเคเบ ลจะต องหย อนเล กน อย เน องจากน าหน กต วม นเอง การเข ยนแรงในกรณ น ย งคงเหม อนเด ม เพ ยงแต ท ศทางแรงกระท า จะต างไปจากเด มเล กน อย ต วอย างท การส มผ สของผ วเกล ยงซ งไม ม แรงเส ยดทาน โดยพ จารณาว ตถ ส ฟ า (ด าน ขวาม อ) เป นว ตถ ท สนใจ ข นแรกให พ จารณาการเคล อนท ของว ตถ เส ยก อน จะพบว าว ตถ ส ฟ าจะ สามารถเล อนได อย างอ สระในท ศทางตามผ วของว ตถ อ กช น การท ว ตถ เคล อนท ได อย างอ สระ หมายถ งจะต องไม ม แรงกระท าอะไรมาต านทานการเคล อนท ในท ศทางผ วส มผ ส ในทางตรงก น ข าม ว ตถ ไม สามารถเคล อนท เข าไปในเน อของว ตถ อ กช นได แสดงว าจะต องม แรงต านทานของ ว ตถ อ กช นมาด นเอาไว ในท ศทางต งฉากก บผ วส มผ ส ด งแสดงในร ปทางด านขวาม อ นอกจากน ย งส งเกตได ว า ว ตถ ส ฟ าสามารถเคล อนท ออกจากว ตถ อ กช นได ด งน นแรง N จ งไม สามารถเป น แรงด งได เป นได แต แรงกดเท าน น ในต วอย างน เราพ จารณาการเคล อนท และแรงในสองท ศทางท ต งฉากก นเท าน น เพราะ แรงใดๆ ก ตามจะสามารถแตกออกได เป นแรงสองแรงในท ศทางต งฉากก น การพ จารณาแรง ย อยในสองท ศทางท ต งฉากก น จ งครอบคล มถ งแรงกระท าในท ศทางใดๆ ต วอย างท 3 การส มผ สของผ วหยาบซ งม แรงเส ยดทาน ต วอย างน พ จารณาได คล ายๆ ก บต วอย างท ต างก นท เม อพ จารณาการเคล อนท ตามผ วส มผ ส จะพบว าม แรงต านทานจาก แรงเส ยดทานเพ มเข ามา ด งน นแรงท กระท าก บว ตถ ส ฟ า (ด านขวา) ในกรณ น จ งม ท งแรงใน แนวต งฉากก บเส นส มผ ส N และแรงในแนวเส นส มผ ส F โดยแรงท งสองจะสามารถรวมก นได เป น แรงล พธ R ท ศทางของแรงเส ยดทานในแนวเส นส มผ ส F จะข นก บท ศทางการเคล อนท หร อ แนวโน มท จะเคล อนท โดยแรง F จะม ท ศทางตรงข ามก บท ศทางการเคล อนท หร อท ศทางท ต าน ไม ให เก ดการเคล อนท เสมอ ต วอย างท 4 ช นส วนรองร บแบบล กกล ง (Roller support) ต วอย างน พ จารณาได เช นเด ยวก บต วอย างท เช นก น โดยล กกล งไม สามารถเคล อนท เข าไปในพ นได ด งน นจ งต องม แรง N กดเข าท ช นส วนท ต อก บล อ (ส ฟ า) เน องจากสามารถยกล กกล งให ส งจากพ นได ด งน น แรง N จ งเป นแรงกดได อย างเด ยว เป นแรงด งไม ได เม อพ จารณาการเคล อนท ตามแนวราบ เน องจากล อ หร อล กกล งสามารถเคล อนท ได อ สระตามแนวราบ (ไม ค ดแรงเส ยดทาน) ด งน นจ ง ไม ม แรงใดๆ กระท าในแนวราบ ต วอย างท 5 การเล อนต วเล อนไปตามรางล นซ งไม ม แรงเส ยดทาน เน องจากต วเล อน สามารถเล อนได อย างอ สระบนราง ด งน นจ งไม ม แรงกระท าใดๆ ในท ศทางของราง แต เน องจาก ต วเล อนไม สามารถเคล อนท ข นลงออกจากรางได ด งน นจ งต องม แรงกระท าในท ศทางต งฉากก บ ราง ด งแสดงในร ปด านขวาม อ 68 Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-4 ร ปท แรงท กระท าเน องจากการเช อมต อในสองม ต (ต อ) [1] ต วอย างท 6 การเช อมต อโดยข อต อแบบหม ด (Pin connection) เม อพ จารณาถ งการ เคล อนท ท เป นไปได ของการเช อมต อแบบน พบว าช นส วนส ฟ าสามารถหม นไปมาได อ สระ แต ไม สามารถด ง หร อกด ให แยกจากจ ดหม นได การท ด งหร อกดให แยกออกจากจ ดหม นไม ได น น แสดงว า ต องม แรงต านทานการท หม ดท งในแนวด ง และในแนวระด บ โดยท ศทางของแรงจะเป น แรงด งหร อกดก ได ข นอย ก บแรงท กระท าก บช นส วนส ฟ า ในกรณ ท ค ดว าข อต อฝ ด หมายถ งม โมเมนต เส ยดทาน ต านทานการเคล อนท ด วย ด ง แสดงในร ปท ต วอย างท 7 การเช อมต อแบบย ดแน น การเช อมต อแบบน หมายถ ง การเช อมต อซ งท า ให ไม สามารถท จะขย บช นส วนส ฟ าข น หร อลง หร อหม นช นส วนส ฟ าได เลย การท ไม สามารถ ขย บไปท ศทางใดๆ ได หมายความว าต องม แรงต านทานการเคล อนท ท งแนวด ง แนวระด บ และ โมเมนต ซ งต านทานการหม นรวมอย ด วย 69 Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-5 ต วอย างท 8 แรงเน องจากน าหน ก น าหน กของว ตถ ใดๆ เป นแรงกระจายตลอดท งเน อ ของว ตถ น น อย างไรก ตามเพ อให การค านวณง ายข น สามารถแทนแรงกระจายตลอดเน อว ตถ เป นแรงล พธ W ซ งม ค าเท าก บผลค ณของมวล m ก บความเร งเน องจากแรงโน มถ วงของโลก g ได โดยต าแหน งของแรงล พธ W จะกระท าผ านจ ดศ นย ถ วงของว ตถ น นๆ ต วอย างท 9 แรงจากสปร ง แรงด งหร อแรงกดจากสปร ง สามารถแทนได ด วยแรงด ง หร อแรงกด ด งแสดงในร ปท การเข ยน Free-body diagram การเข ยน Free-body diagram ม ข นตอนด งต อไปน 1. เล อกว ตถ ท ต องการจะเข ยน Free-body diagram. เข ยนขอบเขตของว ตถ น น 3. ใส แรงและโมเมนต ท กระท าก บว ตถ น น 4. เข ยนแกนพ ก ด ต วอย างการเข ยน Free-body diagram พ จารณาการเข ยน Free-body diagram ของโครงถ ก Plane truss ซ งร บแรง P ด งแสดงในร ปท 3(ก) สมม ต ให น าหน กของโครงถ กม ค าน อยมากเม อเท ยบก บแรง P จ งไม ค ดน าหน กของโครงถ ก (ก) (ข) (ค) ร ปท 3 การเข ยน Free-body diagram ของโครงถ ก [1] 70 Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-6 ข นท 1 เล อกโครงถ กท งหมด Free-body diagram (ไม ค ดช นส วนรองร บแบบหม ดท A และแบบ ล กกล งท B) ข นท เข ยนขอบเขตของว ตถ ด งแสดงในร ปท 3(ข) ข นท 3 เข ยนแรงและโมเมนต ท งหมดท กระท า ด งแสดงในร ปท 3(ค) แรงท งหมดท กระท าต อ โครงถ กม ด งน 1. แรงภายนอกท กระท าก บขอบเขตในร ปท 3(ข) ม อย แรงเด ยว ค อ แรง P. แรงเน องจากการเช อมต อท จ ด A; เน องจากจ ดน เป นการเช อมต อแบบหม ด จ งม แรง กระท าสองแรงในแนวด ง Ay และในแนวระด บ Ax เน องจากย งไม ทราบท ศทางของ แรงท งสอง จ งสมม ต ให แรงม ท ศทางด งแสดงในร ป (อาจจะสมม ต เป นแบบอ นก ได ) 3. แรงเน องจากการเช อมต อท จ ด B; เน องจากจ ดน เป นการเช อมต อแบบล กกล งซ งร บ แรงกดเพ ยงอย างเด ยว ด งน นแรงท แระท าจ งต องเป นแรงกดกระท าก บโครงถ ก 4. แรงเน องจากน าหน ก; เน องจากน าหน กของโครงถ กม ค าน อยกว าแรงภายนอกมาก ในต วอย างน จ งไม ค ดแรงเน องจากน าหน ก ข นท 4 เข ยนแกนพ ก ด ในต วอย างน ใช แกนพ ก ดฉากด งแสดงในร ปท 3(ค) ต วอย างอ นๆ ในการเข ยน Free-body diagram แสดงด งร ปท 4 ต วอย างท คานซ งม ปลายข างหน งย ดแน น เน องจากคานในร ปไม สามารถเคล อนท ข น ลง หร อไปซ ายขวาได และไม สามารถหม นได ด งน นท ปลายข างท ย ดแน นจะต องม แรงกระท า 3 แรง ค อ แรงในแนวระด บ F แรงในแนวด ง V และโมเมนต M เน องจากคานน เป นคานสม าเสมอ และม มวล m จ งเข ยนแรงเน องจากน าหน กของคาน W = mg ไว ท ก งกลางคานซ งเป นจ ดศ นย ถ วง แรงภายนอกอ นๆ เข ยนเช นเด ยวก บท ก าหนดให ต วอย างท 3 คานซ งม ปลายย ดด วยหม ด การย ดด วยหม ดท าให คานไม สามารถเคล อนท ข นหร อลงได แต ย งสามารถหม นได อย ด งน นท จ ดย ดด วยหม ด จะม แรงกระท า แรง ค อแรงใน แนวระด บ Bx และแรงในแนวด ง By ส วนท จ ด A คานวางพาดไว ก บม ม จ งม แรงเน องจากม มด น คานด วย โดยแรงน จะกระท าในท ศทางต งฉากก บคาน และเป นแรงกด เน องจากผ วคานเป นผ ว เร ยบไม ม แรงเส ยดทาน ท จ ด A จ งไม ม แรงในแนวผ วของคาน เช นก บต วอย างท คานน เป นคานสม าเสมอ แรงเน องจากน าหน กของคานจ งเข ยน แสดงไว ท ก งกลางคาน แรงและโมเมนต ภายนอกอ นๆ แสดงด งท ก าหนดให ต วอย างท 4 ระบบกลไกซ งม น าหน กถ วง m ต วอย างน พ จารณาระบบท งหมด การ เช อมต อท A เป นแบบล กกล ง จ งม แรงในแนวด งเพ ยงแนวเด ยว ส วนท จ ด B เป นหม ด จ งม แรง ท งในแนวด งและในแนวระด บ ส าหร บน าหน กของโครงสร างกลไกถ อว าม น าหน กเบา จ งไม เข ยนแรงในแผนภาพ อย างไรก ตาม กลไกน ม น าหน กถ วง m จ งต องเข ยนแรงเน องจากน าหน กถ วง m ด วย โดยแรงน กระท าท จ ดศ นย ถ วงของมวล m (ถ าต ดการพ จารณาเพ ยงแค ท เคเบ ลแทน จะม แรงต งเคเบ ล 71 Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-7 เก ดข นแทน โดยขนาดของแรงต งจะม ค าเท าก บแรงเน องจากน าหน กของมวล m) ส วนแรง ภายนอกอ น แสดงด งท ก าหนดให ร ปท 4 ต วอย างการเข ยน Free-body diagram [1] 72 Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-8 3/3 สภาพสมด ล สภาพสมด ล เป นสภาพท ว ตถ หย ดน ง หร อเคล อนท ในท ศทางตรง (ไม ม การเปล ยนท ศ ทางการเคล อนท ) ด วยความเร วคงท ตามกฎข อท สองของน วต นพบว า ว ตถ จะอย ในสภาพ สมด ลได เม อ Resultant ของท กๆ แรงและโมเมนต ท กระท าก บว ตถ ม ค าเป น 0 ค ากล าวน สามารถเข ยนแทนได ด วยสมการ () ด งน F x = 0, F = 0 y, และ M O = 0 () ส าหร บสมการโมเมนต ในสมการ () เป นโมเมนต รอบจ ด O ใดๆ จ ดน อาจจะอย ในว ตถ หร ออย นอกว ตถ ก ได สภาพสมด ลอาจเก ดแค บางท ศทางก ได เช น ว ตถ เคล อนท แบบเส นตรงด วยความเร งใน แนวระด บ กรณ น สภาพสมด ลไม เก ดในแนวระด บ แต สภาพสมด ลม ในแนวด ง ด งน นสามารถใช สมการสมด ลในแนวด งก บกรณ น ได จากสมการ () พบว าสมการท จะใช ว เคราะห สภาพสมด ลในสองม ต ม เพ ยง 3 สมการ ด งน นป ญหาท ต องการว เคราะห ต องม ต วไม ทราบค าได มากท ส ดเพ ยง 3 ต ว ม เช นน นจะไม สามารถแก สมการหาค าต วไม ทราบค าได ด วยว ธ การทางสถ ตยศาสตร ประเภทของสมด ลในสองม ต สมด ลในสองม ต สามารถแบ งได เป นประเภทต างๆ ด งแสดงในร ปท 5 1. แรงอย ในแนวเส นตรงเด ยวก น (Collinear) ในกรณ น แรงท งหมดจะอย ในแนวเส นตรง เด ยวก น ด งน นสมการท ใช จะเป นเพ ยงสมการสมด ลในแนวแกนเด ยวเท าน น. แรงท งหมดผ านจ ดๆ เด ยวก น (Concurrent at a point) ในกรณ น แรงม ท ศทางต างก น แต แรงท กแรงผ านจ ดเด ยวก นหมด สมการท ใช จะเป นสมการสมด ลในแนวแกน x และ แกน y ในกรณ น จะท าให สมการโมเมนต เป นจร งอย แล ว เน องจากโมเมนต รอบจ ดท แรงท กๆ แรงผ านจะม ค าเท าก บศ นย 3. แรงขนานก น (Parallel) ในกรณ น แรงท งหมดขนานก น (ท ศทางเด ยวก น หร อตรงข าม ก น) แต ไม อย ในแนวเด ยวก น สมการท จ าเป นต องใช ในกรณ น ค อ สมการสมด ลใน ท ศทางของแรง และสมการโมเมนต 4. กรณ ใดๆ (General) กรณ น แรง ต างๆ ไม ขนานก น และไม ผ านจ ดเด ยวก น และอาจม ค บเป ลด วย ในกรณ น จ าเป นต องใช สมการสมด ลท งหมดท แสดงในสมการ () ในการ ว เคราะห 73 Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-9 ร ปท 5 ประเภทของสมด ลใน ม ต [1] สภาพสมด ลด วยแรงสองแรง (Two-force member) เม อม แรงเพ ยงสองแรงกระท าบนว ตถ แล วว ตถ น นอย ในสภาพสมด ล แรงท งสองน นต อง ม ขนาดเท าก น อย ในแนวเส นตรงเด ยวก น และม ท ศตรงก นข ามก น ถ าแรงท งสองไม อย ในแนว เส นตรงเด ยวก นแล ว แรงท งสองจะท าให ว ตถ เก ดการหม น จนกระท งแนวของแรงอย ในแนว เส นตรงเด ยวก นจ งจะสมด ล B y P B x A x A y -P (ก) (ข) (ค) ร ปท 6 สภาพสมด ลด วยแรงสองแรง [1] 74 Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-10 ร ปท 6(ก) แสดงโครงสร างซ งร บแรง F เม อพ จารณาช นส วน AB ถ าไม พ จารณาถ ง น าหน ก (ถ าแรงเน องจากน าหน กม ค าน อยกว าแรงภายนอกท กระท ามากจะละท งได ) จะพบว า จ ดท แรงกระท าม เพ ยง จ ดค อ จ ด A และจ ด B และเน องจากท จ ด A และจ ด B ย ดด วยหม ด จากท กล าวมาในห วข อ 3. จะพบว าต องม แรงกระท าท งในแนวด ง และแนวระด บท จ ด A และจ ด B ด งแสดงในร ปท 6(ข) เน องจากแรง Ax = -Bx และแรง Ay = -By ด งน นจากร ปท 6(ข) จะ พบว าม ต วไม ทราบค า ต ว อย างไรก ตาม เน องจากแรงท จ ด A และจ ด B สามารถรวมเป นแรงๆ เด ยวได ด งน นแรง ท กระท าก บช นส วน AB จ งสามารถลดลงได เป นร ปท 6(ค) เน องจากม แรง แรงกระท าก บ ช นส วน AB ท จ ด A และ B ตามล าด บ ด งน นจะได ว าแรงท ง จะต องม ขนาดเท าก น อย ในแนว เส นตรงเด ยวก น (แนวเส นตรง AB) และม ท ศทางตรงก นข ามก น จากร ปท 6(ค) จะพบว าม ต วไม ทราบค าเพ ยงแค ต วเด ยวเท าน น ในต วอย างน ช นส วน AB ถ กพ จารณาเป น -Force member ได เน องจากไม ค ดแรง เน องจากน าหน กของต วม น แต ถ าค ดแรงเน องจากน าหน กด วยแล ว แรงท งหมดท กระท าก บ ช นส วน AB จะม ท งหมด 3 แรง ท าให แรงท กระท าท จ ด A และ B ไม อย ในแนวเส นตรงเด ยวก น สภาพสมด ลด วยแรงสามแรง (Three-force member) เม อว ตถ อย ในสภาพสมด ลด วยแรง 3 แรง โดยท แรงท งสามไม ขนานก นแล ว จะได ว า แนวแรงของแรงท งสามน นต องต ดก นท จ ดเพ ยงจ ดเด ยวเท าน น ด งแสดงในร ปท 7(a) สาเหต ท แนวแรงท งสามต องต องต ดก นท จ ดๆ เด ยว เพ อให สภาพสมด ลของโมเมนต เป นจร งได จากร ป จะพบว าผลรวมของโมเมนต รอบจ ด O ซ งเป นจ ดท แนวแรงต ดก น จะม ค าเท าก บศ นย ถ าแรงไม ต ดก นท จ ดๆ เด ยว เม อหาผลรวมโมเมนต รอบจ ดต ดของแรงค หน งจะพบว า จะต องม โมเมนต ล พธ จากแรงท แนวแรงไม ได ผ านจ ดต ดน นเหล ออย เสมอ ท าให ไม สามารถอย ใน สภาวะสมด ลได เง อนไขท แนวแรงท งสามต องผ านจ ดๆ เด ยวก นน น ม ข อยกเว นในกรณ ท แรงท งสาม ขนานก น ซ งจะเก ดสภาพสมด ลของโมเมนต ได เช นก น ร ปท 7 สภาพสมด ลด วยแรง 3 แรง [1] 75 Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-11 เม อสมด ลโมเมนต เป นจร ง เน องจากแนวแรงท กแรงผ านจ ดเด ยวก นแล ว สภาพสมด ลจะ สมบ รณ ก ต อเม อ ผลรวมแรงล พธ ของแรงท งสามต องม ค าเท าก บศ นย ด วย จากความร เร อง เวคเตอร จะพบว า เม อผลรวมเวคเตอร แรงท งสามเป นศ นย เวคเตอร แรงท งสามจะต อก น แบบ ห วต อหาง เป นร ปสามเหล ยมป ดได ด งแสดงในร ปท 7(b) การเล อกใช สมการสมด ล ในการแก ป ญหาสมด ล โดยปกต จะใช สมการ () ในการแก ป ญหา โดยม กจะเร มจากการ ใช สมการโมเมนต และตามด วยสมการสมด ลแรงในแนว x และ y การแก ป ญหาน ม ต วไม ทราบ ค า 3 ต ว จ งจ าเป นต องใช สมการ 3 สมการในการหาค าตอบ อย างไรก ตามการแก ป ญหาท ม ต ว ไม ทราบค า 3 ต วน อาจใช สมการสมด ลช ดอ นๆ 3 สมการในการแก ป ญหาก ได ด งแสดงช ดของ สมการในสมการ (3) และ (4) M A = 0, M B = 0, และ F x = 0 (3) M A = 0, M B = 0, และ M = 0 (4) Constraints Constraints หมายถ ง การจ าก ดการเคล อนท เช น ร ปท 8(ก) การรองร บแบบล กกล ง สามารถรองร บแรงในแนวด ง และจ าก ดการเคล อนท ในแนวด งได แต ไม สามารถจ าก ดการ เคล อนท ในแนวระด บได ต วอย างน จ งบอกได ว า ล กกล งม constraint ในท ศแนวด ง ส าหร บร ปท 8(ข) การย ดแบบหม ด จ าก ดการเคล อนท ท งในแนวด ง และแนวระด บ จ งกล าวได ว า การย ดแบบ หม ดม constraint ท งในแนวด งและในแนวระด บ แต อย างไรก ตามการย ดแบบน ไม สามารถ รองร บโมเมนต ท ใส เข าได เห นได จากช นส วนส ฟ า สามารถหม นได เม อม โมเมนต มากระท า ส วน ร ปท 8(ค) แสดงถ งการย ดแน น หร อการเช อมต ด การย ดแบบน ช นส วนส ฟ าไม สามารถเคล อนท ในแนวด ง แนวระด บ หร อหม นได เลย ด งน นจ งกล าวได ว า การย ดแบบน ม constraint ท งใน แนวด ง แนวระด บ และการหม น (ก) C (ข) (ค) ร ปท 8 Constraints แบบต างๆ [1] 76 Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-1 Statical Determinacy เน องจากสมการท แสดงถ งสภาพสมด ลในสองม ต ม อย 3 สมการ ด งน นต วไม ทราบค า ของป ญหาน นๆ จ งม ได มากท ส ดเพ ยง 3 ต วเท าน น พ จารณาร ปท 9 ซ งแสดงถ งป ญหาท แก ได โดยว ธ การทางสถ ตศาสตร และป ญหาท แก ไม ได โดยว ธ การทางสถ ตยศาสตร P P F Ax A B F Ax A B F Bx F Ay F By F Ay F By (ก) (ข) ร ปท 9 ป ญหาท แก ได และไม ได โดยว ธ ทางสถ ตยศาสตร พ จารณาแรงท รองร บโครงสร างท จ ด A และ B ในกรณ ของร ปท 9(ก) ท จ ด A เป นการ ย ดแบบหม ด จ งม แรงกระท า ท ศทางในแนวด ง และแนวระด บ ส วนท จ ด B เป นการรองร บ แบบล กกล ง จ งม แรงกระท าในแนวด งเพ ยงอย างเด ยว จะพบว าป ญหาในร ปท 9(ก) ม ต วไม ทราบค าท จ ดรองร บ 3 ต ว จ งสามารถแก ป ญหาด วยว ธ การทางสถ ตยศาสตร โดยใช สมการ สมด ลท ง 3 สมการได ป ญหาแบบน จ งเร ยกได ว าเป น ป ญหาท แก ได โดยว ธ ทางสถ ตยศาสตร (Statically determinate) ส วนในร ปท 9(ข) จ ดรองร บท จ ด B เป นแบบหม ดย ดเช นเด ยวก บท จ ด A ท าให ม แรง กระท าท จ ด B เพ มจากร ปท 9(ก) เป น แรง และม แรงซ งไม ทราบค าท งหมด 4 แรง อย างไรก ตามสมการแสดงสภาพสมด ลม อย เพ ยง 3 สมการ ด งน นจ งไม สามารถแก ป ญหาน ได ตามว ธ การ สถ ตยศาสตร ป ญหาท ม ล กษณะเช นน เร ยกว า ป ญหาท แก ไม ได โดยว ธ ทางสถ ตยศาสตร (Statically indeterminate) การแก ป ญหาล กษณะน จ าเป นท จะต องม ข อม ล เช นค ณสมบ ต ของ ว สด เพ อใช สร างสมการเพ มเต ม Adequacy of Constraints การย ดว ตถ ให อย ในสภาพสมด ลน น จ าเป นท ต องจ าก ดไม ให ว ตถ เคล อนท ได ในแนว ระด บ แนวด ง และไม ให ว ตถ เก ดการหม น หร อกล าวอ กอย างหน งว า ว ตถ น นต องม Constraint ในแนวระด บ แนวด ง และการหม น พ จารณาร ปท 10 ซ งแสดงร ปแบบการย ดต างๆ ก น 77 Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-13 ร ปท 10 การย ดว ตถ ในร ปแบบต างๆ [1] การย ดว ตถ ในร ปท 10 จะใช การย ดโดยข อต อ โดยข อต อแต ละอ นจะสามารถร บแรงใน แนวแกนของม นเท าน น ในร ปท 10(a) ข อต อในแนวระด บท จ ด A ท าหน าท ร บแรง และย ดไม ให เก ดการเคล อนท ในแนวระด บ ข อต อ ข อท วางต วในแนวด ง ท าหน าท ร บแรง และย ดไม ให เก ด การเคล อนท ในแนวด ง นอกจากน ข อต อท งสองข อน ย งท าหน าท ร บโมเมนต และต านทานการ หม นท จะเก ดข นด วย จะเห นว าข อต อท ง 3 ข อ สามารถย ดให ว ตถ อย ในสภาพสมด ลได โดย สมบ รณ โดยข อต อท ง 3 ข อ ม ความจ าเป นในการย ดโดยจะขาดข อต อใด ข อต อหน งไม ได กรณ น จะเร ยกว า การย ดโดยสมบ รณ ม ต วจ บย ดเพ ยงพอ (Adequate constraints) ร ปท 10(b) แสดงการจ บย ดโดยม ข อต อ 3 ต วเช นเด ยวก บท แสดงในร ป 10(a) ต างก น ตรงท ท ศทางการวางต วของข อต อท งสามผ านจ ดเด ยวก น ท จ ด A เน องจากข อต อท งสามวางต ว อย ในแนวระด บ และอย ในแนวด ง ข อต อท งสามจ งสามารถร บแรง และย ดไม ให ม การเคล อนท ใน แนวระด บ และแนวด งได อย างไรก ตามเน องจากการวางต วของข อต อท งสามผ านจ ดเด ยวก น ด งน นข อต อท งสาม จ งไม สามารถร บโมเมนต ซ งท าให ว ตถ หม นรอบจ ด A ได ในกรณ น จะ เร ยกว า การย ดบางส วนโดยม ต วจ บย ดไม เพ ยงพอ (Partial constraints) ร ปท 10(c) แสดงการย ดโดยใช ข อต อ 3 ต วเช นเด ยวก น แต ข อต อท ง 3 ต วอย ในแนว ระด บ ข อต อท ง 3 น จะร บแรง และย ดไม ให ม การเคล อนท ในแนวระด บ และย ดไม ให ว ตถ หม น จากโมเมนต ท จะใส เข ามาได อย างไรก ตาม เน องจากระบบน ไม ม ข อต อซ งร บแรงในแนวด ง ด งน นการย ดในร ปน จ งเป น การย ดเพ ยงบางส วนโดยม ต วจ บย ดไม เพ ยงพอ (Partial constraints) 78 Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-14 ร ปท 10(d) แสดงการจ บย ดโดยใช ข อต อ 4 ต ว 3 ต วแรกวางต วเช นเด ยวก บการจ บย ด ในร ปท 10(a) ด งน นจะเห นว าเพ ยงแค ต วจ บย ด 3 ต วก ท าให ย ดได อย างสมบ รณ แล ว การม ข อ ต อเพ มมาอ ก 1 ต ว จ งเป นการย ดซ งม ข อต อท มากเก นไป (Redundant constraint) ข นตอนในการแก ป ญหาสภาพสมด ลในสองม ต 1. ตรวจสอบว าปร มาณ หร อแรงใดทราบค า หร อไม ทราบค าบ าง. เล อกว ตถ ท จะพ จารณา และเข ยน Free-body diagram แยกออกมา ไม เข ยนแรงในร ป โจทย เพราะจะท าให ส บสนได ง าย 3. ต งแกนพ ก ดให เหมาะสม และเล อกท ศทางซ งโมเมนต ม ค าบวก (อาจเล อกตามกฎม อ ขวาก ได ) 4. เล อกใช สมการสมด ลของโมเมนต M O = 0 โดยเล อกจ ดหม นเป นจ ดท ม แรงผ าน มากท ส ด 5. เล อกใช สมการสมด ลของแรงในแนว x และ y F x = 0, F = 0 y (อาจเล อกใช สมการช ดอ นๆ เช น ใช สมการโมเมนต รอบจ ดอ น อ ก 1 หร อ จ ด เป นต น) 6. แก สมการท ได จากข นตอน 4-5 จะได ค าตอบตามต องการ เอกสารอ างอ ง [1] J.L.Meriam and L.G.Kraige, Engineering mechanics STATICS fifth edition SI Version, John Wiley & Sons, Inc., 003. 79 Statics/ Chapter 3 Equilibrium /1 The 100-kg wheel rests on a rough surface and bears against the roller A when the couple M is applied, If M = 60 Nm and the wheel does not slip, compute the reaction on the roller A. [Engineering Mechanics Statics 5 th edition, Meriam & Kraige, prob.3/15] ว ธ ท า ก าหนด W = mg = (100)(9.81) N M = 60 Nm เข ยน Free-body diagram ของล อ 100 kg N A [ M C = 0] CW+ M C 30º 60 f (0.3) = f = 00 N 0 y x f W O N [ F x = 0] f N A cos 30 = 0 00 N cos30 = 0 A A N N Ans = โจทย ข อน เน องจากต องการทราบแรง N A จ งอาจเล อกจ ด O ซ งเป นจ ดท ล อ ส มผ สพ น เป นจ ดหม นในการค ดสมด ลโมเมนต ก ได [ M O = 0] 60 N cos30 (0.3) = 0 A CW+ N = N Ans A 80 Statics/ Chapter 3 Equilibrium / The pin A, which connects the 00-kg steel beam with center of gravity at G to the vertical column, is welded both the beam and to the column. To test the weld, the 80-kg man loads the beam by exerting a 300-N force on the rope which passes through a hole in the beam as shown. Calculate the torque (couple) M supported by the pin. [Engineering Mechanics Statics 5 th edition, Meriam & Kraige, prob.3/49] ว ธ ท า ก าหนดน าหน กคาน Mg = (00)(9.81) น าหน กคน mg = (80)(9.81) แรงด งเช อก = แรงต งเช อก 300 N N N ข อน ท าได ว ธ ข นก บว าจะเข ยน Free-body diagram อย างไร ว ธ แรก ท าได โดยเข ยน FBD แยกระหว างคน คาน และรอก y mg ค ดท คน [ ] F y = 0 N mg T = 0 N = 80 (9.81) = N A x x M T N N ค ดท คาน [ ] M A = 0 CCW+ M Mg( 1.) N(1.8) T (.1) = 0 A y Mg T M = 00(9.81)(1.) (1.8) + 300(.1) T T M = N 4.94 kn Ans T 81 Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-17 ว ธ ท สอง ท าได โดยเข ยน FBD โดยรวมคน และคานไว ด วยก น จะท าให แรงปฏ ก ร ยา N ระหว างคน และคานกลายเป นแรงภายในไม ต องน ามาค ด (จากร ปจะเห นว าเม อ รวมท ง ร ปเข าด วยก น แรง N จะห กล างก นหมดไป) ด งน นแรงไม ทราบค าจ งม เพ ยงแค 3 แรงเท าน น ค อ Ax, Ay และ M mg y y mg x M T N N x M A x A y Mg A y T A x A y Mg T T T ค ดท คน และคาน [ M A = 0] CCW+ M Mg( 1.) T (1.8) mg(1.8) T (.1) = 0 M = 00 (9.81)(1.) + 300(1.8) + 80(9.81)(1.8) + 300(.1) M = N 4.94 kn Ans 82 Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-18 แบบฝ กห ด ห วข อ 3/3 1. The man pushes the lawn mower at a steady speed with a force P that is parallel to the incline. The mass of the mower with attached grass bag is 50 kg with mass center at G. If θ = 15, determine the normal forces N B and N C under each pair of wheels B and C. Neglect friction. Compare with the normal forces for the conditions of θ = 0 and P = 0. [Engineering Mechanics STATICS 5 th edition, Meriam & Kraige] (Ans N B = 14 N, N C = 60 N With θ = P = 0: N B = 350 N, N C = N). The exercise machine is designed with a lightweight cart which is mounted on small rollers so that it is free to move along the inclined ramp. Two cables are attached to the cart-one for each hand. If the hands are together so that the cables are parallel and if each cable lies essentially in a vertical plane, determine the force P which each hand must exert on its cable in order to maintain an equilibrium position. The mass of the person is 70 kg, the ramp angle θ is 15, and the angle β is 18. In addition, calculate the force R which the ramp exerts on the cart. [Engineering Mechanics STATICS 5 th edition, Meriam & Kraige] (Ans P = 45.5 N, R = 691 N) ร ปประกอบแบบฝ กห ดข อ 1 ร ปประกอบแบบฝ กห ดข อ 3. The indicated location of the center of mass of the 1600-kg pickup truck is for the unladen condition. If a load whose center of mass is x = 400 mm behind the rear axle is added to the truck, determine the mass m L of the load for which the normal forces under the front and rear wheels are equal. [Engineering Mechanics STATICS 5 th edition, Meriam & Kraige] (Ans m L = 44 kg) 83 Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-19 ร ปประกอบแบบฝ กห ดข อ 3 ร ปประกอบแบบฝ กห ดข อ 4 4. The small crane is mounted on one side of the bed of a pickup truck. For the position θ = 40º, determine the magnitude of the force supported by the pin at O and the oil pressure p against the 50-mm-diameter piston of the hydraulic cylinder BC. [Engineering Mechanics STATICS 5 th edition, Meriam & Kraige] (Ans F O = 4.14 kn, p =.58 MPa) 5. Pulley A delivers a steady torque (moment) of 100 Nm to a pump through its shaft at C. The tension in the lower side of the belt is 600 N. The driving motor B has a mass of 100 kg and rotates clockwise. As a design consideration, determine the magnitude R of the force on the supporting pin at O. [Engineering Mechanics STATICS 5 th edition, Meriam & Kraige] (Ans R = kn) 6. The uniform 400-kg drum is mounted on a line of rollers at A and a line of rollers at B. An 80-kg man moves slowly a distance of 700 mm from the vertical centerline before the drum begins to rotate. All rollers are perfectly free to rotate, except one of them at B which must overcome appreciable friction in its bearing. Calculate the friction force F exerted by that one roller tangent to the drum and find the magnitude R of the force exerted by all rollers at A on the drum for this condition. [Engineering Mechanics STATICS 5 th edition, Meriam & Kraige] (Ans F = 305 N, R = 3770 N) 84 Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-0 ร ปประกอบแบบฝ กห ดข อ 5 ร ปประกอบแบบฝ กห ดข อ 6 85 Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-1 สถ ตยศาสตร (Statics) บทท 3 สภาพสมด ล (ตอนท ) Section B สภาพสมด ลในสามม ต 3/4 สภาพสมด ล ในห วข อน จะขยายความสภาพสมด ลให ครอบคล มถ งป ญหาในสามม ต โดยหล กการแล ว สภาพสมด ลในสามม ต ก บในสองม ต จะเหม อนก น และสมการสมด ลท ใช ย งคงเหม อนเด มด ง แสดงในสมการท (1) v r R = F = 0 และ M = M = 0 (1) ในสามม ต แรงและโมเมนต จะต องค าน งถ งท ศทางด านล กท เพ มเข ามาด วย ด งน นสมการ ท (1) จะสามารถขยายให ครอบคล มป ญหาในสามม ต ได ด งน F r = 0 หร อ F x = 0, F = 0, และ 0 y F z = () M v = 0 หร อ M x = 0, M y = 0, และ M z = 0 (3) การแก ป ญหาสมด ลในสามม ต อาจจะใช ว ธ การแบบสเกลาร โดยใช สมการด งแสดงใน สมการท () และ (3) หร อจะใช ว ธ การแบบเวคเตอร ก ได ส าหร บการเข ยน Free-body diagram น นก อาจจะใช ว ธ เข ยนร ปแบบสามม ต (pictorial view drawing) หร อการเข ยนภาพฉายท ละ ระนาบ และพ จารณาเป นป ญหา ม ต ก ได (ด ต วอย างท 3/6 ในหน งส อ Engineering Mechanics Statics fifth edition SI version ของ J. L. Meriam และ L. G. Kraige) จากสมการท () และ (3) จะพบว าเน องจากม สมการสมด ลท งหมด 6 สมการ ด งน นต ว ไม ทราบค าในการค านวณสภาพสมด ล 3 ม ต จ งม ได มากท ส ด 6 ต ว จ งจะสามารถหาค าโดยว ธ ทางสถ ตยศาสตร ได แรงท เก ดจากการย ดแบบต างๆ แรงจากการจ ดย ดแบบต างๆ ในสามม ต แสดงด งร ปท 1 ต วอย างท 1 แสดงถ งว ตถ แตะก บพ นเร ยบโดยไม ม การย ดแน นใดๆ หร ออาจจะพ จารณา เป นการรองร บแบบล กกล งก ได แรงท กระท าในกรณ น จะม เพ ยงแรงท พ นด นว ตถ ในแนวด ง N เพ ยงแรงเด ยว ต วอย างท แสดงถ งว ตถ แตะก บพ นขร ขระ ในต วอย างน จะต างก บต วอย างแรกตรงท ม แรงเส ยดทาน F เพ มเข ามาด วย โดยท ศของแรงเส ยดทานเก ดในท ศท ต านทานแนวโน มท จะ เคล อนท ของว ตถ v v 86 Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3- ร ปท 1 แรงจากการจ บย ดในสามม ต [1] 87 Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-3 ต วอย างท 3 แสดงถ งล อว งบนรางล น จะเห นว าล อไม สามารถเคล อนท ในท ศทาง y และ z ได ด งน นในท ศทาง y และ z จ งต องม แรงต านทานกระท า ส วนในท ศทาง x น น ล อกล งได อย างอ สระ ด งน นจ งไม ม แรงต านทานมากระท าในท ศทางน ต วอย างท 4 การย ดแบบ Ball-and-socket joint การย ดแบบน ว ตถ จะหม นได อย างอ สระ ท กท ศทาง แต ไม สามารถเคล อนท ออกจากเบ าซ งรองร บล กบอลได ด งน นการรองร บแบบน จ ง ต องม แรงต านทานการเคล อนท กระท าในท ศทาง x, y และ z ต วอย างท 5 การรองร บแบบย ดแน น (การเช อมต ด) การย ดแบบน ว ตถ จะไม สามารถ เคล อนท และไม สามารถหม นได ด วย ด งน นจ งต องม แรงต านทาน และโมเมนต ต านทานท ง ท ศทาง x, y และ z ต วอย างท 6 การย ดด วยรองล นท ร บแรงในแนวแกนได ด วย (Thrust-bearing support) รองล นเป นอ ปกรณ ทางกลชน ดหน ง ใช รองร บการหม นของเพลา และบ งค บไม ให เพลาเคล อนท ได ในท ศทางต งฉากก บแกนเพลา ความต านทานการหม นของเพลาท รองร บด วยรองล นจะม ค า น อยมาก จนถ อว าไม ม ความต านทานการหม นได รองล นท ร บแรงในแนวแกนได หมายถ ง รอง ล นซ งม ล กษณะพ เศษช วยป องก นไม ให เพลาเคล อนท ในแนวแกนได ด วย เม อพ จารณาการท างานของรองล นแล ว จะพบว าแรงต านทานท กระท าก บรองล นท ร บ แรงในแนวแกนได จะม ท ง 3 ท ศทางในแกน x, y, และ z ส าหร บโมเมนต ท ต านทานการเคล อนท น น จะม ในท ศทางของการหม นรอบแกนซ งต งฉากก บแกนเพลา ท าให เพลาไม สามารถหม นรอบ แกนซ งต งฉากก บแกนเพลาได อย างไรก ตามการท รองล นท าข นเพ อไม ให ม ความต านทานการ หม น ด งน นจ งไม ม โมเมนต ต านทาน ในท ศทางการหม นของเพลา ในต วอย างท 5 และ 6 จะพบว าแรงและโมเมนต ท เก ดท ต วจ บย ด ซ งม กเป นต วไม ทราบ ค าจะม จ านวนมาก (6 และ 5 ต วตามล าด บ) ในการพ จารณาป ญหาสมด ลสามม ต ในกรณ เช นน หลายๆ คร ง อาจจะจ าเป นต องต งสมม ต ฐานให ไม ม โมเมนต ต านทานจ งจะแก ป ญหาโดยว ธ ทาง สถ ตยศาสตร ได การต งสมม ต ฐานเช นน สามารถเป นไปได หมายความว าโมเมนต ท เก ดจากแรง ท กๆ แรงในระบบ รอบจ ดจ บย ดจะห กล างก นหมดพอด ท าให ไม ม โมเมนต เก ดท ต วจ บย ด ประเภทของสมด ลในสามม ต สมด ลในสามม ต แบ งเป นประเภทต างๆ ด งแสดงในร ปท ด งน 1. แรงท กแรงผ านจ ดๆ เด ยว (Concurrent at a point) ในกรณ น สมการสมด ลของแรง 3 สมการ ในท ศทาง x, y และ z ก เพ ยงพอท จะแสดงสภาพสมด ลได เน องจากผลรวม โมเมนต รอบจ ดท แรงต ดก นม ค าเท าก บศ นย แน นอนอย แล ว. แรงท กแรงผ านแนวเส นตรงเด ยวก น (Concurrent with a line) กรณ น แสดงด งต วอย าง ท ในร ปท จากร ปจะพบว า จ าเป นต องใช สมการสมด ล 5 สมการในการแสดงสภาพ สมด ล สมการสมด ลของโมเมนต รอบแกน x (ท บก บแกนของเส นตรงท แนวแรงท กแรง 88 Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-4 ผ าน) ไม จ าเป นต องใช เน องจากเม อแรงผ านแกนใด จะไม ท าให เก ดโมเมนต รอบแกนน น อย แล ว ด งน นจากร ป เม อแรงท กแรงผ านแกน x จ งไม เก ดโมเมนต รอบแกน x 3. แรงท กแรงขนานก น (Parallel) กรณ น แสดงด งต วอย างท 3 ในร ปท เน องจากแรงท ก แรงขนานก น จ งใช สมการสมด ลของแรงในท ศทางท แรงขนานก นเพ ยงสมการเด ยว ท จะ แสดงสภาพสมด ลของแรง ส วนสภาพสมด ลของโมเมนต น น ต องใช สมการในการ แสดง ส าหร บโมเมนต รอบแกนท ม ท ศทางเด ยวก บแรง ไม จ าเป นต องใช เน องจากไม v v v เก ดโมเมนต อย แล ว ( M = r F น นค อท ศทางของโมเมนต หร อท ศทางของแกน จะต องต งฉากก บท ศทางของแรงเสมอ ด งน นถ าแรงม ท ศทางเด ยวก บแกน จะไม เก ด โมเมนต รอบแกนน น) 4. กรณ ใดๆ (General) ในกรณ น แรงแต ละแรงไม ผ านจ ดเด ยวก น ไม ผ านแนวเส นตรง เด ยวก น และไม ขนานก น กรณ น จ าเป นต องใช สมการสมด ลท งหมดในการแสดงสภาพ สมด ล ด งแสดงในต วอย างท 4 ร ปท ร ปท สมด ลประเภทต างๆ ใน 3 ม ต [1] 89 Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-5 ร ปท 3 การย ดว ตถ ในร ปแบบต างๆ (3 ม ต ) [1] Constraints and Statical Determinacy ร ปท 3 แสดงการย ดว ตถ ในร ปแบบต างๆ ใน 3 ม ต ข อต อแต ละอ นจะสามารถร บแรงใน แนวแกนของม นได เท าน น ในร ปท 3(a) ข อต อท วางต วในท ศทางต างๆ ก น ท ง 3 ท ศทาง ท าให ไม เก ดการเคล อนไหวในแนวแกน x, y และ z นอกจากน ข อต อค 1-6, 3-4 และ 3-5 ท ง 3 ค ย ง ท าหน าท ร บโมเมนต ท อาจจะเก ดข นท ง 3 ท ศทาง ด งน นการย ดในร ปท 3(a) จ งเป นการย ดโดย สมบ รณ และม ต วจ บย ดท พอเพ ยง (Adequate constraints) การย ดว ตถ ในร ปท 3(b) ใช จ านวนข อต อท งหมด 6 อ น เช นเด ยวก บร ปท 3(a) อย างไรก ตาม ส งเกตได ว าแรงท กระท าโดยข อต อท กอ น ผ านแนวเส นตรง AE การท แรงท กแรงผ าน เส นตรง AE ท าให การจ บย ดในร ปน ไม สามารถร บโมเมนต ภายนอกท จะใส เข าเพ อท าให เก ด โมเมนต รอบแกน AE ได ด งน นการย ดแบบน จ งเป น การย ดเพ ยงบางส วนโดยม ต วจ บย ดไม เพ ยงพอ (Partial constraints) ร ปท 3(c) แสดงการจ บย ดโดยใช ข อต อ 6 อ นเช นก น แต จะส งเกตได ว าข อต อท กอ น วางต วในแนวแกน x และ z ไม ม ข อต ออ นไหนท วางต วในแนวแกน y เลย ท าให ระบบน ไม สามารถร บแรงในแนวแกน y ท จะใส เพ มเข าไปได การย ดแบบน จ งเป น การย ดเพ ยงบางส วน โดยม ต วจ บย ดไม เพ ยงพอเช นก น 90 Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-6 ร ปท 3(d) แสดงการจ บย ดคล ายก บร ปท 3(a) เพ ยงแต ร ปท 3(d) ม ข อต อ 7 เพ มเข ามา โดยข อต ออ นๆ ย งวางต วเหม อนเด ม เน องจากจ บย ดโดยข อต อ 6 อ น ด งแสดงในร ปท 3(a) เป น การจ บย ดท พอเพ ยงอย แล ว การใส ข อต อท 7 เข าไปจ งเป นการจ บย ดท มากเก นความจ าเป น หร อเร ยกว า การจ บย ดซ งม ข อต อมากเก นไป (Redundant constraints) และเน องจากสมการ สมด ลใน 3 ม ต ม เพ ยง 6 สมการ แต การจ บย ดโดยข อต อมากกว า 6 ข อ จะท าให ม ต วไม ทราบค า มากกว าจ านวนสมการ กรณ น จ งไม สามารถหาค าตอบได โดยว ธ ทางสถ ตยศาสตร หร ออาจ เร ยกว า Statically indeterminate ข นตอนในการแก ป ญหาสภาพสมด ลสองม ต 1. ตรวจสอบว าปร มาณใด หร อแรงใดทราบค า หร อไม ทราบค าบ าง. เล อกว ตถ ท จะพ จารณา เข ยน FBD และแกนพ ก ด 3. หาพ ก ดจ ดต างๆ ท แรงกระท า 4. เข ยนแรงแบบเวคเตอร โดย แรง(เวคเตอร ) = (ขนาดของแรง)(เวคเตอร หน งหน วยแสดงท ศทางของแรง) 5. เล อกจ ดท ม แรงผ านมากท ส ด และใช สมการสมด ลของโมเมนต รอบจ ดน น โดย v v v ค านวณหาโมเมนต ด งน M = ( r F) = 0 จากสมการโมเมนต น จะท าให สามารถหาค าแรงไม ทราบค า ซ งไม ได ผ านจ ดหม นได 6. ใช สมการสมด ลของแรง เพ อหาแรงในท ศทางอ นๆ เอกสารอ างอ ง [1] J.L.Meriam and L.G.Kraige, Engineering mechanics STATICS fifth edition SI Version, John Wiley & Sons, Inc., 003. 91 Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-7 3/3 A rectangular sign over a store has a mass of 100 kg, with the center of mass in the center of the rectangle. The support against the wall at point C may be treated as a ball-and-socket joint. At corner D support is provided in the y-direction only. Calculate the tension T 1 and T in the supporting wires, the total force supported at C, and the lateral force D supported at D. [Engineering Mechanics Statics 5 th edition, Meriam & Kraige, prob.3/90] ว ธ ท า เข ยน FBD ได ด งแสดงในร ป จากร ปจะเห นได ว าม แรงท ไม ทราบค าท งหมด 6 แรง ด งน นสามารถใช สมการสมด ล 3 ม ต หาค าออกมาได พ ก ดจ ดต างๆ เป นด งน A(0,-1.5,.5) B(0,1.5,.5) C(0,0,-1) D(0,0,0) E(4,0,0) F(.5,0,0) E T T 1 D F C x เข ยนแรงท ไม ได ขนานก นแกน x, y, และ z ให อย ในร ปเวคเตอร C z C y mg v ( 4ˆ i 1.5 ˆj +.5kˆ) T1 T ˆ ( 4ˆ 1.5 ˆ 1 = T1n EA = T1 = i j +.5kˆ) v (.5ˆ i ˆj +.5kˆ) T T ˆ (.5ˆ 1.5 ˆ = TnFB = T = i + j +.5kˆ) 92 Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-8 เล อกจ ดท แรงผ านมากท ส ดเป นจ ดหม นในการใช สมการสมด ลของโมเมนต ในท น ค อ จ ด C [ = 0] M v v v v v r T + r T + mg() ˆj + D(1)( iˆ) 0 C 1 1 = (1) โดย r v 1 ค อเวคเตอร ท ช จากจ ดหม น C ไปย งแนวแรง T 1 (จ ด E) r v ค อเวคเตอร ท ช จากจ ดหม น C ไปย งแนวแรง T (จ ด F) v r v T1 1.5 ˆ T 4ˆ i + kˆ) ( 4ˆ i j +.5kˆ) = (1.5ˆ i 14 ˆj 6 ˆ) T1 = ( k v T 1.5 ˆ T1 r (.5ˆ ˆ) (.5ˆ.5 ˆ) ( 1.5ˆ 8.75 ˆ T v = i + k i + j + k = i j kˆ) แทนลงในสมการ (1) T1 14 ˆ T (1.5ˆ i j 6kˆ) + ( 1.5ˆ i 8.75 ˆj kˆ) (9.81)() ˆj Diˆ = 0 () สมการน จะเป นจร งได เม อส วนประกอบเวคเตอร ในท ศทาง I, j, k เป น 0 ท งหมด จากสมการท () เม อค ดท ละท ศทางจะได ระบบสมการด งน T T 1 (1.5) + ( 1.5) D = T T 1 ( 14) + ( 8.75) = 100(9.81)() T T ( 6) + (3.75) = 0 (3) แก ระบบสมการ (3) จะได T 1 = N, T = N, D = N Ans จะเห นว า การใช สมการสมด ลโมเมนต รอบจ ด จะท าให หาค าของแรงไม ทราบค าได 3 แรง เน องจากสมการเวคเตอร ครอบคล มถ งท ศทางตามแกน x, y, และ z 3 ท ศทาง ข นต อไปจะหาแรงท เหล อ โดยใช สมการสมด ลแรงในแนวแกน x, y, และ z 93 Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-9 จากขนาดของแรง T 1 และ T ท ได จะสามารถเข ยนแรงท งสองในร ปเวคเตอร ได ด งน v T = ( 4ˆ i 1.5 ˆj +.5kˆ) = 80.84ˆ i ˆj v T 1 + [ = 0] x = (.5ˆ i ˆj +.5kˆ) = 80.86ˆ i ˆj F = 0 [ = 0] y C x Cx = F = 0 [ = 0] z C y C y = 0 F (9.81) = 0 C z Cz = N N N kˆ 80.86kˆ ด งน น C = = N Ans 94 Statics/ Chapter 3 Equilibrium 3-30 แบบฝ กห ด ห วข อ 3/4 1. The light right-angle boom which supports the 400-kg cylinder is supported by three cables and a ball-and-socket joint at O attached to the vertical x-y surface. Determine the reactions at O and the cable tensions. [Engineering Mechanics STATICS 5 th edition, Meriam & Kraige] (Ans O x = 196 N, O y = 0 N, O z = 6540 N T AC = 4810 N, T BD = 770 N, T BE = 654 N). The awning window is temporarily held open in the 50º position shown by a wooden prop CD. If a = 0.8 m and b = 1. m and the mass of the window is 50 kg with mass center at its geometric center, determine the compressive force FCD in the prop and all components of the forces exerted by the hinges A and B on the window. Assume that A is a thrust-bearing hinge but that hinge B is not. [Engineering Mechanics STATICS 5 th edition, Meriam & Kraige] (Ans A x = N, A y = 118. N, A z = -9.0 N B x = N, B y = 85 N, F CD = 7 N) ร ปประกอบแบบฝ กห ดข อ 1 ร ปประกอบแบบฝ กห ดข อ 95 Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-1 สถ ตยศาสตร (Statics) บทท 5 แรงกระจาย 5/1 บทน า ในบทก อนๆ จะพ จารณาให แรงกระท าตามแนวเส นแรงกระท า และม ต าแหน งท แรง กระท าก บว ตถ เป นจ ดๆ เด ยว เร ยกแรงล กษณะน ว า Concentrated force การพ จารณาแบบน ช วยให การค านวณลดความซ บซ อนลงอย างมาก อย างไรก ตามในความเป นจร งแล ว ไม ม แรงๆ ใดกระท าท จ ดๆ เด ยว แต ต าแหน งแรงกระท าจะเป นพ นท แรงกระท าท กระจายท วท งพ นท น เร ยกว า แรงกระจาย พ จารณาร ปท 1(a) ซ งแสดงแรงท พ นถนนกระท าก บล อรถ จะเห นว ายางจะไม ส มผ สก บ พ นถนนเพ ยงแค จ ดเด ยว แต จะส มผ สเป นพ นท เน องจากยางเก ดการเส ยร ปเน องจากน าหน ก ของรถ จากร ปม ความกว างของผ วส มผ ส b แรงท พ นถนนกระท าก บล อรถจะกระจายตลอดท ง พ นท น โดยแรงกระจายอาจจะไม สม าเสมอตลอดท งพ นท ก ได จากร ปจะเห นว าบร เวณตรงกลาง แรงท พ นกระท าจะม ขนาดมากกว าแรงท กระท าท บร เวณขอบๆ ของพ นท ส มผ ส ล กศรเส นประ แสดงถ งแรงล พธ ท เก ดจากการรวมแรงกระจายน ร ปท 1(b) แสดงการส มผ สของล กบอลแข ง ก บ พ นผ วแข ง ในกรณ น บร เวณส มผ สจะเป นเพ ยงพ นท เล กๆ แต อย างไรก ตามเน องจากบร เวณ ส มผ สเป นพ นท แรงท พ นกระท าก บบอลจ งเป นแรงกระจายเช นก น ร ปท 1 ต วอย างแรงกระจาย [1] 96 Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5- ร ปท 1(c) แสดงแรงท กระท าก บช นส วนกลซ งร บแรงกด C อ กด านหน งของช นส วนกล ถ กเจาะร แล วย ดด วยหม ด จะเห นว าแรงท เก ดในช นส วนกลไม ได เก ดท จ ดๆ เด ยว แต กระจาย อย างสม าเสมอตลอดพ นท หน าต ดของช นส วนกล ส าหร บแรงท หม ดกระท าก บช นส วนกลน นก จะ กระจายตลอดพ นท ส มผ สระหว างผ วหม ดและผ วช นส วนกล อย างไรก ตามขนาดของแรงจะ เปล ยนแปลงตามต าแหน งท ส มผ ส แรงกระจายสามารถแบ งเป น 3 ชน ดด งน 1. แรงกระจายตามเส น (Line Distribution) ต วอย างของแรงกระจายชน ดน แสดงด งร ปท (a) แรงท มวลด งเคเบ ลไว กระท ากระจายตลอดความยาวเคเบ ล หน วยของแรงกระจาย ตามเส นค อ N/m. แรงกระจายตามพ นท (Area Distribution) เม อแรงกระท าท วท งพ นท จะเร ยกแรงน ว า แรงกระจายตามพ นท ต วอย างของแรงกระจายชน ดน ค อแรงด นน าท กระท าก บเข อน ด ง แสดงในร ปท (b) แรงด นน กระท าตลอดท งพ นท แต ขนาดของแรงด นท แต ละความล ก จะไม เท าก น ล กศรส แดงในร ปแสดงถ งแรงกระจายท แต ละระด บความล ก หน วยของแรง กระจายตามพ นท ค อ N/m หร อ Pa ซ งก ค อความด นน นเอง 3. แรงกระจายตลอดปร มาตร (Volume Distribution) แรงกระจายตลอดปร มาตรอาจเร ยก อ กอย างว า Body force ต วอย างของแรงชน ดน ค อ แรงด งด ดเน องจากแรงโน มถ วงของ โลก เน องจากแรงน กระท าก บท กๆ ส วนของมวล จ งเร ยกว าเป นแรงกระจายตลอด ปร มาตร หน วยของแรงกระจายชน ดน ค อ N/m 3 ร ปท แรงกระจายชน ดต างๆ [1] 97 Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-3 5/ จ ดศ นย กลางมวล เน องจากน าหน กของว ตถ ถ อเป นแรงกระจายตลอดท งเน อปร มาตร การค านวณแรง กระจายน นย งยากกว าการค านวณแรงท กระท าเป นจ ดมาก ด งน นเพ อให ง ายต อการพ จารณา ม กจะสมม ต ให มวลของว ตถ ท งก อนรวมอย ท จ ดๆ เด ยว และจ ดน จะเป นต วแทนของมวลท งก อน เร ยกจ ดน ว าจ ดศ นย กลางมวล (Center of mass) และหากถ อว าแรงด งด ดของโลกม ค าคงท ตลอดว ตถ จะได ว าจ ดศ นย กลางมวลจะเป นจ ดเด ยวก บจ ดศ นย ถ วง (Center of gravity) ด วย ส าหร บว ตถ ช นหน งๆ จะม จ ดศ นย กลางมวลเพ ยงจ ดเด ยวเท าน น และจ ดน จะอย ในหร อนอกเน อ ว ตถ ก ได ว ธ หาจ ดศ นย กลางมวลด วยว ธ ทดลองแสดงด งในร ปท 3 และม ข นตอนด งน 1. ผ กว ตถ ให ห อยลงอย างอ สระ ด งแสดงในร ปท 3(a) เม อพ จารณาให น าหน กของว ตถ รวมท จ ดศ นย ถ วงเพ ยงจ ดเด ยว จะสามารถเข ยน แผนผ งแรงได ด งแสดงในร ปท 3(d) จากแผนผ งแรงพบว าม แรงเพ ยง แรงท ท ากระท าก บว ตถ และท าให ว ตถ อย ในสภาพสมด ล น นค อน าหน กของว ตถ W และแรงต งเช อก T เน องจากเป น การสมด ลจากแรงเพ ยงสองแรง ด งน นแรงท งสองจ งต องม ขนาดเท าก นและอย ในแนวเส นตรง เด ยวก น เพราะว าแรงจากน าหน กของว ตถ จะผ านจ ดศ นย ถ วงเสมอ ด งน นจ งทราบว า จ ดศ นย ถ วงต องเป นจ ดใดจ ดหน งบนเส นแนวด ง หร ออย ในแนวเส นเช อก. เปล ยนต าแหน งผ กเช อกห อยว ตถ เป นจ ด B ด งแสดงในร ปท 3(b) ท านองเด ยวก บข นตอนท 1 จากข นตอนน จะทราบว าจ ดศ นย ถ วงต องเป นจ ดใดจ ด หน งบนเส นแนวด ง (B-G) เช นก น จากผลของการผ กว ตถ ท งสองคร งจะได ว า จ ดต ดของเส นตรง ท งสองกรณ จะเป นจ ดศ นย ถ วง G และหากห อยว ตถ ท จ ด C ก จะพบว าจ ด G ก จะอย บนแนวเส น เช อกเช นก น T FBD (d) ร ปท 3 การหาจ ดศ นย ถ วงด วยว ธ การทดลอง [1] 98 Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-4 การหาต าแหน งจ ดศ นย ถ วงและจ ดศ นย กลางมวล เพ อท ให การพ จารณาให น าหน กรวมของว ตถ รวมเป นจ ดเด ยวท จ ดศ นย ถ วง สามารถใช ทดแทนการพ จารณาน าหน กของมวลย อยๆ ท กๆ ส วนของว ตถ ได ค ณสมบ ต ทางด านโมเมนต ของการพ จารณาท งสองกรณ ต องเหม อนก น พ จารณาร ปท 4(a) ว ตถ ในร ปม จ ดศ นย ถ วงอย ท จ ด G ซ งย งไม ร ต าแหน งแน นอน โดย สมม ต ให จ ดศ นย ถ วงอย ท พ ก ด ( x, y, z) หากหาโมเมนต ของมวลก อนน รอบแกน y สามารถหา ได โดยแบ งมวลเป นก อนย อยๆ dw หาโมเมนต เน องจากน าหน กของมวลย อยๆ แล วค อยน ามา รวมก น แต เน องจากว ตถ ก อนน สามารถค ดเสม อนว าน าหน กท งหมดรวมก นท จ ด G ซ งท าให ค ณสมบ ต ทางโมเมนต ไม แตกต างจากเด มด วย ด งน นจ งอาจหาโมเมนต ได โดยน าเอาน าหน ก รวมมาค ณด วยแขนของโมเมนต ซ งว ดจากแกน y มาย งจ ด G การหาโมเมนต ท ง ว ธ สามารถ แสดงได ด งสมการ (1) ผลรวมโมเมนต ของมวลย อยๆ = โมเมนต ของน าหน กรวมท จ ดศ นย ถ วง ( x)dw = x dw xw (1) = โดย x ค อระยะว ดตามแกน x ไปย งมวลก อนย อยๆ (แขนของโมเมนต ของมวลก อนย อยๆ) W ค อน าหน กรวมของว ตถ x ค อต าแหน งจ ดศ นย ถ วง ว ดตามแกน x จากสมการ (1) จะสามารถหาต าแหน งจ ดศ นย ถ วงได ด งน ( x) dw x = () W ท านองเด ยวก น ต าแหน งจ ดศ นย ถ วงว ดจากแกน y และ z สามารถหาได ด งน ( y) dw z dw y =, ( ) z = (3) W W ร ปท 4 การหาจ ดศ นย กลางมวล [1] 99 Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-5 เน องจากน าหน กของว ตถ ส มพ นธ ก บมวลตามสมการ W = mg ถ าค า g ม ค าคงท หร อสามารถ ประมาณให คงท ตลอดช นว ตถ แล ว จะได dw = ( g) dm (4) แทนสมการ (4) ลงในสมการ (3) และ () จะได สมการเพ อหาจ ดศ นย กลางมวลด งน ( x) dm m ( y) dm ( z) dm x =, y =, z = (5) m m เน องจากการบอกต าแหน งจ ดใดๆ อาจบอกเป นพ ก ด (x,y,z) หร อบอกเป นเวคเตอร แสดง v ต าแหน ง r = xiˆ + yj ˆ + zkˆ ก ได ด งน นพ ก ดท ง 3 ในสมการ (5) อาจจะบอกรวมได ในร ป เวคเตอร r v ด งน v r = ( r v ) dm 5/3 Centroids of Lines, Areas, and Volumes ได ด งน m ถ าความหนาแน นของว ตถ ρ สม าเสมอตลอดท งเน อว ตถ สมการ (5) จะสามารถเข ยน x = x = ( x) ρdv ρv ( x) dv, V, y = y = ( y) ρdv ρv ( y) dv V,, z = z = ( z) ρdv ρv ( z) dv โดย V ค อปร มาตรของมวล จะพบว า x, y และ z จากสมการท (7) ข นอย ก บร ปร างของว ตถ เพ ยงอย างเด ยว จ ด x, y และ z ในกรณ น เร ยกว าจ ดกลางร ป (Centroid) การหาจ ด Centroid สามารถแบ งออกได เป น 3 ร ปแบบด งน 1 เส น การหาจ ด Centroid ในกรณ น ใช ก บว ตถ ท ม ความยาวมากกว าหน าต ดมากๆ เช น เส น ลวดเป นต น ร ปการหาจ ด Centroid แสดงในร ปท 5(a) ถ าก าหนดให A ค อหน าต ดของลวด สมการ (7) จะเข ยนได ด งน ( x) Adl ( y) Adl ( z) Adl x = Al ( x) dl l, y = Al ( y) dl x =, y =, l จากร ปท 5(a) จะพบว าจ ด Centroid อาจจะไม อย ในเส นลวดก ได, z = z = V Al ( z) dl l (6) (7) (8) 100 Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-6 (a) ร ปท 5 จ ดกลางร ป [1] (b) พ นท การหาจ ด Centroid ในกรณ น ใช ก บว ตถ บางท ม ความหนาเท าก นตลอดแผ น ร ปการหาจ ด Centroid แสดงในร ปท 5(b) ถ าก าหนดให t ค อหน าหนาของแผ น สมการ (7) จะเข ยนได ด งน ( x) tda y tda x =, ( ) z tda y =, ( ) z = At ( x) da A At ( y) da At ( z) da x =, y =, z = (9) A A 3 ปร มาตร การหาจ ด Centroid ในกรณ น สามารถหาได โดยสมการ (7) ตามท ได แสดงไว แล ว ตารางท 1 แสดงต าแหน งของจ ด Centroid ของร ปทรงเรขาคณ ตบางชน ด 101 Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-7 ตารางท 1 จ ด Centroid ของร ปทรงเรขาคณ ตบางชน ด [1] 102 Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-8 5/4 Composite body การหาจ ดศ นย ถ วง หร อจ ดกลางร ปตามท ได กล าวมาในห วข อก อนหน าสามารถใช หาได ในท กกรณ ไม ว าว ตถ จะม ร ปร างใดๆ อย างไรก ตามถ าว ตถ น นม ร ปร างท เก ดข นจากการประกอบ ก นของร ปทรงเรขาคณ ตพ นฐาน เช น วงกลม สามเหล ยม ส แหล ยม ซ งร ต าแหน งจ ดศ นย ถ วงอย แล วน น การค านวณหาจ ดศ นย ถ วงจะสามารถหาได ง าย โดยการแบ งส วนว ตถ ก อนใหญ ให เป น ช นเรขาคณ ตย อยๆ ด งต วอย างในร ปท 6 (a) (b) ร ปท 6 การหาจ ดศ นย ถ วงของ Composite body [1] ว ตถ ท แสดงในร ปท 6(a) เก ดจากการประกอบก นของช นส วนย อยๆ ด งแสดงในร ปท 6(b) โดยเก ดจากช นส วนท 1 ประกอบก บช นท และห กออกด วยช นส วนท 3 และช นส วนท 4 เน องจากช นส วนแต ละช นในร ป 6(b) เป นร ปเรขาคณ ตพ นฐานซ งร จ ดศ นย ถ วง (หร อจ ด Centroid) อย แล ว การหาจ ดศ นย ถ วงของว ตถ ท งช นจ งสามารถหาได จากจ ดศ นย ถ วงของช น ส วนย อยๆ ด งน โมเมนต ว ตถ ท งช น = ผลรวมโมเมนต ของช นส วนย อย (ช น1 + ช น - ช น3 - ช น4) X ( A = A x + A x A x A x 1 + A A3 A4 ) A x A โดย X ค อจ ดกลางร ปของว ตถ ท งก อน x ค อจ ดกลางร ปของช นส วนย อย A ค อพ นท ของช นส วนย อย X = 1 ( A + A A A ) 4 1 x 1 A x A 4 x 103 Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-9 ข อส งเกต เน องจากว ตถ ท งช นเก ดจากการรวมช นท 1 และ และห กออกด วยช นท 3 และ 4 ด งน นการหาจ ดกลางร ป จ งเป นการรวมของโมเมนต เน องจากช นท 1 และ และต องลบด วย โมเมนต ท เก ดจากช นท 3 และ 4 สมการท ใช ในการหาจ ดศ นย ถ วงหร อจ ดกลางร ปของ Composite body สามารถเข ยน ในร ปท วไปได ด งน mx X =, my Y =, mz Z = (10) m m m โดย m สามารถเปล ยนเป น V หร อ A ได แล วแต กรณ 5/5 ทฤษฎ ของ Pappus ทฤษฎ ของ Pappus ใช หาพ นท หร อปร มาตร ซ งเก ดจากการหม น เส น หร อพ นท รอบ แกนหม น โดยท แกนหม นไม ได ต ดก บเส น หร อพ นท ท น ามาหม น 1. การหาพ นท ท เก ดจากการหม นของเส นรอบแกนหม น ร ปท 7 การหาพ นท ท เก ดจากการหม นเส นรอบแกนหม น [1] ร ปท 7 แสดงพ นท ท เก ดจากการหม นเส นรอบแกนหม น โดยพ นท วงแหวนย อยๆ หาได จากเส น รอบวงค ณด วยความหนาย อยๆ ของวงแหวน และสามารถเข ยนเป นสมการได ด งน da = ( πy) dl = π ydl A (11) เน องจาก ydl = y L แทนในสมการ (11) จะได A = πyl (1) โดย y ค อต าแหน ง Centroid ของเส นท น ามาหม น โดยว ดจากแกนหม น L ค อความยาวของเส น 104 Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-10 ถ าหม นเส นรอบแกนไม ครบ π เรเด ยน จะสามารถหาพ นท ได จากสมการ (13) A = θyl (13) โดย θ เป นม มในหน วยเรเด ยน. การหาปร มาตรท เก ดจากการหม นพ นท รอบแกนหม น ร ปท 8 การหาปร มาตรท เก ดจากการหม นพ นท รอบแกนหม น [1] ร ปท 8 แสดงปร มาตรท เก ดจากการหม นพ นท รอบแกนหม น โดยปร มาตรย อยๆ หาได จากเส น รอบวงค ณด วยพ นท หน าต ดย อยๆ พ นท รวมท งหมด และสามารถเข ยนเป นสมการได ด งน dv = ( πy) da = π yda V (14) เน องจาก yda = y A แทนในสมการ (14) จะได V = πya (15) โดย y ค อต าแหน ง Centroid ของพ นท ท น ามาหม น โดยว ดจากแกนหม น A ค อพ นท รวมท น ามาหม น ถ าหม นพ นท รอบแกนไม ครบ π เรเด ยน จะสามารถหาปร มาตรท ได จากสมการ (16) V = θya (16) โดย θ เป นม มในหน วยเรเด ยน 105 Statics/ Chapter 5 Distributed Forces /1 The thickness of the triangle plate varies linearly with y from a value t 0 along its base y = 0 to t 0 at y = h. Determine the y-coordinate of the center of mass of the plate. [Engineering Mechanics Statics 5th edition, Meriam & Kraige, prob.5/9] b - x ว ธ ท า หาความส มพ นธ ของร ปร างในร ปสมการคณ ตศาสตร ได ด งน 1.ความส มพ นธ ระหว างพ ก ด y ก บความหนา y y t = t0 + t0 = t0(1 + ) h h.ความส มพ นธ ของร ปร างหน าต ดสามเหล ยม x b = y h ปร มาตรของแผ นสามเหล ยมหาได ด งน b x = h y V V = h 0 h y y by t0 (1 + )( b x) dy = t0(1 + )( b ) dy h h h y = bt (1 h 0 0 ) dy h 0 จ ด Centroid หาได จาก โมเมนต ของปร มาตรรวม = ผลรวมของโมเมนต ของช นส วนย อยๆ Y Y h 0 h h y y bt0 (1 ) dy = yt0(1 + )( b x) dy h h h 3 y y 0 ) h 0 h bt (1 ) dy = bt0 ( y h Y = 8 dy Ans 106 Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-1 5/ The two circular arcs AB and BC are revolved about the vertical axis to obtain the surface of revolution shown. Compute the area A of the outside of this surface. [Engineering Mechanics Statics 5th edition, Meriam & Kraige, prob.5/81] 1 ว ธ ท า หาพ นท ผ วโดยใช ทฤษฎ ของ Pappus แบ งพ นผ วออกเป น ส วน ส วนท 1 เก ดจากการหม นเส นโค ง AB รอบแกนใน แนวด ง ส วนท เก ดจากการหม นเส นโค ง BC รอบแกนในแนวด ง จากสมการของ Pappus A = θyl จากตารางจะได y = r π 1 y 1 50 y1 = (100 ) π y 50 y = (100 + ) π 50 π 50 1 mm π 4 50 π 50 4 A = π(100 + )( ) = mm π 4 4 พ นท ส วนท 1 A = π(100 )( ) = พ นท ส วนท 4 4 พ นท รวม A + A = ( ) 10 = mm Ans 107 Statics/ Chapter 5 Distributed Forces /9 Fluid statics ในบทก อนๆ เราพ จารณาแรงท กระท าระหว างของแข ง แต ในบทน จะพ จารณาถ งแรงท กระท าเน องจากความด นของของไหล ก อนจะศ กษาแรงเน องจากความด นของของไหล จ าเป น จะต องร สมบ ต ของของไหลในสภาวะอย น งเส ยก อนด งน สมบ ต ของของไหลในสภาวะอย น ง 1. ของไหลในสภาวะอย น งไม สามารถร บแรงเฉ อนได. จากผลของข อ 1 จะได ว า แรงท กระท าโดยของไหลท อย น งจะเก ดเฉพาะแรงใน แนวต งฉากก บผ วของไหลเท าน น ความด นของของไหล จากกฎของปาสคาล (Pascal s law) ทราบว า เม อพ จารณาจ ดๆ หน งในของไหล ความ ด นท กระท าก บจ ดๆ น ไม ว าจะเป นท ศทางใดจะม ขนาดเท าก นตลอด กฎของปาสคาลน สามารถ พ ส จน ได โดยพ จารณาช นของไหลซ งม ขนาดเล กๆ (พ จารณาเหม อนเป นจ ดๆ หน งในของไหล) ด งแสดงในร ปท 9 ร ปท 9 แรงท กระท าก บช นของไหลเล กๆ [1] จากร ปความด นท กระท าท แต ละผ วของช นของไหล ม ค าเท าก บ p 1, p, p 3 และ p 4 ตามล าด บ ด งน นจะสามารถหาแรงท กระท าก บแต ละพ นผ วได โดยน าเอาความด นมาค ณก บ พ นท หน าต ด ด งแรงท แสดงในร ปท 9 เน องจากของไหลอย น ง แรงท กระท าในแต ละท ศทาง จะอย ในสภาวะสมด ล ด งแสดงในสมการ (17) สมด ลตามแนวแกน x p 1 dy dz = p3 ds dz sin θ dx dy dz สมด ลตามแนวแกน y p dx dz = p ds dz cosθ + ρg (17) 3 108 Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-14 เน องจาก ds sin θ = dy, ds cos θ = dx และ ค า ก บเทอมอ นๆ สามารถละท งได แทนความส มพ นธ เหล าน ลงในสมการ (17) จะได dx dy dz g ρ ม ค าน อยมากเม อเท ยบ p 1 = p = p3 = p (18) จากสมการ (18) จะได ว าความด นท กระท าก บจ ดๆ หน งในของไหล (ช นของไหลเล กๆ ตามร ป) จะม ขนาดเท าก น ไม ว าจะกระท าในท ศทางใด ซ งสอดคล องก บกฎของปาสคาล ความด นของของไหลท ระด บความล กต างก น ความด นของของไหลม ความส มพ นธ ก บระยะในแนวด ง ร ปท 9 แสดงแรงในแนวด งท กระท าก บช นของไหล ร ปท 9 แรงในแนวด งท กระท าก บช นของไหล [1] เน องจากของไหลอย ในสภาวะสมด ล จะเข ยนสมการสมด ลในแนวด งได ด งน p da + ρ g da dh ( p + dp) da = 0 dp = ρ g dh (19) จากสมการท (19) จะเห นว าความด นของไหลจะเพ มข นเม อระยะ h หร อความล กมากข น เม อ ของไหลเป นของเหลว ซ งม ค าความหนาแน น ρ คงท สมการท (19) จะเข ยนได ด งน p = p 0 + ρgh (0) โดย p 0 เป นความด นท ผ วของของเหลว (h = 0) หน วยของความด น ค อ N/m หร อ Pa ถ าผ วของของเหลวเป ดส บรรยากาศ สมการ (0) จะเข ยนได ด งน p = pa + ρgh (1) โดย p a เป นความด นบรรยากาศ ม ค าเท าก บ kpa เคร องม อว ดความด นโดยท วไปจะว ดความแตกต างระหว างความด นของของไหล ก บ ความด นบรรยากาศ หร อกล าวอ กอย างหน งว า ว ดความด นท เพ มข นข นจากความด นบรรยากาศ ความด นท เคร องม อว ดว ดได เร ยกว า ความด นเกจ p g และม ความส มพ นธ ตามสมการ () p g = ρgh () 109 Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-15 ความด นของเหลวท กระท าต อแผ นส เหล ยมจมในของเหลว ป ญหาแผ นส เหล ยมจมในของเหลวพบได ท วไปในงานว ศวกรรม ต วอย างป ญหาประเภท น ได แก ป ญหาแรงด นท กระท าก บผน งเข อน หร อ ผน งแท งก น า เป นต น p a p g p a p a (a) (b) ร ปท 10 แผ นส เหล ยมจมในของเหลว [1] ร ปท 10 แสดงต วอย างของแผ นส เหล ยมจมในของเหลว ในร ปท 10(a) เส นบางส แดง แสดงถ งความด นของของเหลวท กระท าก บแผ นส เหล ยม จะเห นว าท ระด บความล กมากข น ความด นของของเหลวจะมากข นด วยตามสมการ dp = ρ g dh และแสดงให เห นด วยความ ยาวของเส นบางส แดงท ยาวมากข น ความด นของของเหลวน จะกระท ากระจายท วท งแผ น ส เหล ยม ร ปท 10(b) แสดงม มมองด านข างของแผ นส เหล ยม เน องจากระบบน เป นระบบเป ดซ ง ผ วของเหลวเป ดส บรรยากาศ แรงด นบรรยากาศ p a จะกระท าต อผ วของแผ นส เหล ยมท กๆ ด าน ด งน นแรงล พธ เน องจากแรงด นบรรยากาศจ งห กล างก นไปหมด และม ค าเท าก บ 0 การค ด แรงท กระท าในกรณ ระบบเป ดส บรรยากาศจ งค ดเพ ยงแค ความด นเกจ ซ งแสดงโดยเส นส แดง เท าน น เม อพ จารณาเส นบางส แดงในร ปท 10(a) ก จะพบว าแสดงเฉพาะความด นเกจเช นก น โดยจะเห นได จากท ผ วของเหลวม ความด นเป นศ นย เม อรวมแรงท เก ดจากความด นน จะสามารถ รวมได เป นแรงล พธ R แสดงด วยเส นประท บส แดง 110 Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-16 การหาขนาดของแรงล พธ เน องจากความด นของของเหลว การหาขนาดของแรงล พธ เน องจากความด นของของเหลวกระท าได 3 ว ธ ได แก ว ธ การ อ นท เกรตโดยตรง ว ธ การหาโดยใช หล กการหาจ ด Centroid และว ธ หาปร มาตรของปร ซ มความ ด น 1.ว ธ การอ นท เกรต พ จารณาการหาแรงกระท าก บแผ นส เหล ยมจมในของเหลว แสดงด งร ปท 11 ร ปท 11 การหาแรงกระท าก บแผ นส เหล ยมจมในของเหลว [1] แรงล พธ R dr = R = = pda ( ρgh) da = ( ρgy cosθ y y 1 ) bdy y1 y ( y1 + y )( y1 y R = ρgbcosθ( ) = ρgbcosθ ( y1 cosθ + y cosθ) h1 + h R ρgbl = ρgbl = (3-1) ) โดย h เป นความล กจากผ วของเหลว b ค อความกว างของแผ นส เหล ยม (ล กลงไปในกระดาษ) L ค อความยาวของแผ น แรงล พธ สามารถเข ยนในร ปความด นได ด งน h1 + h p1 + p R = ρgbl = bl (3-) 111 Statics/ Chapter 5 Distributed Forces การหาแรงล พธ อาจจะพ จารณาโดยใช ความร เก ยวก บการหาจ ด Centroid R = ( ρgh) da = ρg hda = ρgha (4-1) โดย hda = ha h ค อความล กท จ ด Centroid ของแผ นส เหล ยม ซ งในกรณ แผ นส เหล ยม ค าน จะเท าก บ ความล กเฉล ย การหาแรงล พธ สามารถเข ยนในร ปความด นได ด งน R = ρgha = p A (4-) โดย p ค อความด นท จ ด Centroid ของแผ นส เหล ยม ซ งในกรณ แผ นส เหล ยม ค าน จะเท าก บ ความด นเฉล ย 3. ว ธ หาปร มาตรของปร ซ มความด น พ จารณาร ปท 11 เช นเด ยวก บการหาโดยว ธ การอ นท เกรต แรงล พธ R = dr = pda R = pbdy = bpdy = bda (5) โดย d A = pdy ค อพ นท ท แรเงาส แดงในร ปท 11 ด งน น ผลค ณของ b ก บ d A จ งเป นปร มาตรส วนย อยๆ และแรงล พธ R จ งเป น ปร มาตรรวมของปร ซ มความด น ซ งม หน าต ดเป นจ ด และม ความหนาเข าไปในกระดาษ b เม อพ จารณาในร ปท 10 แรงล พธ R สามารถหาได ปร มาตรของปร ซ มความด น ซ งล อมรอบ ด วยจ ด การหาต าแหน งของแรงล พธ การหาต าแหน งของแรงล พธ เน องจากความด นของของเหลวใช หล กการของโมเมนต โดยผลรวมโมเมนต เน องจากแรงย อยๆ จากความด นของเหลว ม ค าเท าก บโมเมนต ซ งเก ดจาก แรงล พธ รวม การหาต าแหน งของแรงล พธ กระท าได ว ธ ได แก ว ธ การอ นท เกรตโดยตรง และว ธ หาต าแหน งของแรงล พธ รวมจากต าแหน งแรงย อยๆ 1.ว ธ การอ นท เกรต พ จารณาร ปท 11 แรงล พธ R กระท าผ านจ ด C ซ งห างจากจ ด B ตามแนวแกน y เป นระยะ Y โมเมนต เน องจากแรงล พธ = ผลรวมโมเมนต เน องจากแรงย อยๆ Y R = ypda = ypbdy Y pbdy = ypbdy ypbdy Y = (6) pbdy 112 Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-18 กรณ แผ นส เหล ยม b ม ค าคงท ด งน นสมการท (6) จะกลายเป น ypdy yda Y = = (7) pdy da ซ งจะพบว า Y ค อต าแหน งจ ด Centroid ของพ นท ส เหล ยมคางหม ในร ปท 11 น นเอง. ว ธ หาต าแหน งแรงล พธ รวมจากต าแหน งแรงย อยๆ ร ปท 1 การหาต าแหน งแรงล พธ จากแรงย อยๆ [1] เน องจากแรงล พธ หาได จากปร มาตรของปร ซ มความด นซ งม หน าต ดส เหล ยมคางหม และต าแหน งของแรงล พธ เป นต าแหน งจ ด Centroid ของร ปส เหล ยม ด งน นจะ สามารถหาต าแหน งจ ด Centroid ของส เหล ยมคางหม ได โดยแบ งส เหล ยมคางหม ออกเป นสอง ส วนค อ ส วนท เป นสามเหล ยม และส วนท เป นส เหล ยมผ นผ าด งแสดงในร ปท 1 โมเมนต เน องจากแรงล พธ = โมเมนต เน องจากช นสามเหล ยม + โมเมนต จากส เหล ยม Y R = y R + y (8) 1 1 R Y, y1, และ เช นถ าว ดจากจ ด สามารถหาต าแหน งจ ดแรงล พธ กระท าได ด งน y อาจจะว ดจากต าแหน งอ างอ งตามร ปท 11 ก ได หร อจะว ดจากต าแหน งอ นก ได L L Y ( R1 + R ) = R1 + R 3 โดย Y จะว ดจากจ ด ด านบนของแผ นส เหล ยม (9) ความด นของเหลวท กระท าบนแผ นส เหล ยมโค งจมในของเหลว พ จารณาแรงท กระท าก บแผ นส เหล ยมโค งจมในของเหลวแสดงด งร ปท 1 จากร ปจะ พบว าความด นท กระท าก บแผ นโค งจะม ท ศทางต งฉากก บผ วโค งเสมอ อย างไรก ตามท ศทางของ ความด นและแรงท กระท าแต ละจ ด จะเปล ยนแปลงไปตลอดแนวโค ง การหาแรงล พธ R ซ งเป น 113 Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-19 ปร มาณเวคเตอร และต าแหน งท แรงล พธ กระท า จ งจ าเป นต องค าน งถ งท ศทางแรงกระท าด วย ด งจะเห นได จากสมการ (30) ด งน R = b pdl = b pdy x ( ) x และ Ry = b ( pdl) y = b pdx (30) การพ จารณาหาแรงและต าแหน งของแรงท กระท าก บผ วโค งย งสามารถท าได อ กว ธ หน ง โดยใช หล กการของสมด ล พ จารณาร ปท 13 ซ งแสดง FBD ของระบบท จะพ จารณา ร ปท 1 แผ นส เหล ยมโค งจมในของเหลว [1] ร ปท 13 ระบบท พ จารณาเพ อหาแรงท กระท าก บแผ นส เหล ยมโค ง [1] การหาแรงท กระท า R ก บแผ นส เหล ยมโค งในร ปท 1(b) โดยว ธ ของสมด ลจะพ จารณา โดยต ดของเหลวซ งต ดก บแผ นโค ง (ส วนส เข ยว ABC ในร ปท 13) มาค ดแทน และแรงท แผ น ส เหล ยมโค งกระท าก บส วนของเหลว R จะม ค าเท าก บแรงท ของเหลวกระท าก บแผ นส เหล ยมโค ง ในร ป 1(b) โดยเป นแรง action-reaction ก นตามกฎของท 3 ของน วต น แรงน เป นแรงท ไม ทราบค าและต องการจะหา ส าหร บแรงอ นๆ ท กระท าก บของเหลวได แก แรงท ผ ว Px และ Py 114 Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-0 ซ งสามารถหาได โดยง ายตามว ธ ท ได กล าวมาแล ว และแรงเน องจากน าหน กของของเหลว W ซ ง ก สามารถหาค าได เช นก น เม อทราบค า Px, Py และ W แล วก ใช สมการสมด ลจะสามารถ หาค า R ออกมาได ต าแหน งของแรงล พธ R ก สามารถหาค าได โดยใช หล กการสมด ลของ โมเมนต ก บ FBD ท แสดงในร ปท 13 ความด นของเหลวท กระท าบนแผ นเร ยบจมในของเหลว พ จารณาแรงท กระท าก บแผ นเร ยบร ปร างใดๆ ซ งจมในของเหลวแสดงด งร ปท 14 การหาแรงท กระท าก บแผ นเร ยบสามารถพ จารณาได หลายร ปแบบด งน ร ปท 14 แรงท กระท าก บแผ นเร ยบจมในของเหลว [1] 1. การหาขนาดของแรงล พธ ในกรณ น ท าโดยว ธ การอ นท เกรต R = pda = ρg hxdy (31) เน องจาก x เป นฟ งก ช นของ y ถ าร ความส มพ นธ ของ x ก บ y จะสามารถอ นท เกรตสมการ (31) โดยตรงเพ อหาแรงล พธ ออกมาได. การหาขนาดของแรงล พธ อาจจะใช หล กการของการหาจ ด Centroid R = pda = ρg hda เน องจาก hda = ha ด งน น R = ρgha (3) โดย h ค อความล กท จ ด Centroid ของพ นท A 115 Statics/ Chapter 5 Distributed Forces ใช หล กการหาปร มาตรของร ปทรงความด น R = pda = dv = V (33) โดย V ค อปร มาตรของร ปทรงท ล อมรอบด วยแผ นเร ยบส เข ยว และเส นบางส แดงแสดง ในร ปท 14(b) การหาต าแหน งของแรงล พธ การหาต าแหน งของแรงล พธ ในกรณ แผ นเร ยบซ งม ร ปร างใดๆ ใช หล กการของโมเมนต เช นเด ยวก บกรณ ของแผ นส เหล ยม ด งน R Y = ydr Y pxdy = ypxdy ypxdy ydv Y = = (34) pxdy dv จากสมการท (34) พบว าต าแหน งของแรงล พธ จะผ านจ ด Centroil ของร ปทรงท ล อมรอบด วยแผ นเร ยบส เข ยว และเส นบางส แดง สร ปการหาแรงล พธ และต าแหน งของแรงล พธ การหาแรงล พธ และต าแหน งของแรงล พธ สามารถสร ป และม ข อแนะน าด งน 1. การหาโดยว ธ การอ นท เกรตอาจจะด ยาก แต ถ าเข าใจแล วท าได ท กกรณ ไม ว าจะหาขนาด แรง หร อต าแหน งของแรงล พธ โดยไม เก ดความส บสน. กรณ แผ นส เหล ยมเร ยบ หาขนาดแรงโดยการหาปร มาตรของปร ซ มความด นท าได ง าย ท ส ด ส วนต าแหน งของแรงล พธ ค อต าแหน ง Centroid ของปร มาตรปร ซ มความด น ซ ง ท าได โดยแบ งปร ซ มเป นร ปทรงเรขาคณ ตท ร ต าแหน งจ ด Centroid และใช หล กการของ โมเมนต 3. กรณ แผ นส เหล ยมโค ง ใช ว ธ การต ดส วนของเหลว และใช สมการสมด ลในการหาขนาด ของแรงล พธ และต าแหน งของแรงล พธ 4. กรณ แผ นเร ยบท ม ร ปร างใดๆ ใช ส ตรการหาจะง ายท ส ด โดย ขนาดของแรงล พธ R = ρgha โดย h ค อความล กท จ ด Centroid ของพ นท หน าต ด ไม ใช ความล กเฉล ย ต าแหน งของแรงล พธ เก ดท ต าแหน ง Centroid ของปร มาตรร ปทรงท เก ดจากความด น โดยปกต ม กจะต องใช การต งสมการอ นท เกรตเพ อหาต าแหน งแรงล พธ 116 Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5- แรงลอยต ว (Buoyancy) B A Mg F B A C F F (d) (e) (f) ร ปท 15 แรงลอยต ว [1] แรงลอยต วสามารถอธ บายได ด งร ปท 15 พ จารณาของเหลวท อย น งด งร ป 15(a) เม อ ต ดช นของเหลวออกมาพ จารณาแรงกระท า ของเหลวท ต ดมาเร ยกว าของเหลว A ส วนของเหลว เด มท เหล อจากการต ดเร ยกว าของเหลว B แรงท ของเหลว A กระท าก บของเหลว B แสดงในร ปท 15(b) ส วนแรงท ของเหลว B กระท าก บของเหลว A แสดงด วยล กศรส แดงในร ปท 15(c) จะพบว าแรงท กระท าท ผ วของเหลวจะต งฉากก บผ วของเหลว และกระจายตลอดผ ว พ จารณาร ปท 15(c) เม อรวมแรงกระจายเข าด วยก นจะสามารถเข ยนแรงท ท าก บ ของเหลว A ได ด งร ปท 15(e) เน องจากของเหลวอย น ง (อย ในสภาวะสมด ล) และม แรงเพ ยงแค แรงกระท าก บของเหลว A แรงล พธ จากแรงกระจาย F จ งม ค าเท าก บน าหน กของของ- เหลว A ซ งม ค า mg และท ศทางของแรงต องอย ในแนวเส นตรงก บแรงเน องจากน าหน กของ ของเหลว หร ออาจกล าวอ กอย างว าแรง F ต องผ านจ งศ นย ถ วงของของเหลว A ถ าของเหลว A ม เน อสม าเสมอ อาจกล าวได ว าแรง F ต องกระท าผ านจ ด Centroid ของของเหลว A เม อ พ จารณาของเหลว B จะพบว าม แรง F ท ของเหลว A กระท าก บของเหลว B ด งแสดงในร ปท 15(d) แรงน เป นแรง action-reaction ก บแรง F ในร ป 15(e) น นเอง สมม ต ให ม ว ตถ C ร ปร างเหม อนของเหลว A ท กประการ วางแทนท ของเหลว A ใน ของเหลว B จะพบว าแรงเน องว ตถ C กระท าก บของเหลว B จะย งม ค า F เท าเด ม เน องจาก ร ปร างเหม อนเด ม ด งน นเม อพ จารณาท ว ตถ C แรงเน องจากของเหลว B ท กระท าก บว ตถ C จ ง ม ขนาด F เท าเด ม และม ท ศทางช ข น รวมถ งต าแหน งของแรงเหม อนเด ม เน องจากแรง F จะช ข นเสมอ จ งเร ยก F ว าแรงลอยต ว และเน องจากขนาดของแรง F สมด ลก บน าหน กของเหลว A ด งน นจ งกล าวได ว า แรง F ม ขนาดเท าก บน าหน กของเหลว A น นค อของเหลวท ถ กว ตถ C แทนท น นเอง 117 Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-3 จากท อธ บายข างต นสามารถสร ปได ด งน แรงลอยต วม ขนาดเท าก บน าหน กของเหลวท ถ กแทนท โดยท ศทางของแรงจะช ข นและผ านจ ดศ นย ถ วงของของเหลวท ถ กแทนท แรงลอย ต วเข ยนเป นสมการได ด งน โดย F = gv (35) ρ fluid ρ fluid ค อความหนาแน นของของเหลวท ถ กแทนท V ค อปร มาตรของเหลวท ถ กแทนท ร ปท 16 แรงลอยต วก บการออกแบบเร อ [1] แรงลอยต วสามารถน าไปประย กต ใช ก บการออกแบบเร อได ด งแสดงในร ปท 16 ร ปท 16(a) แสดงเร อขณะท ไม เก ดการโคลง น าหน กของเร อ mg กระท าผ านจ ดศ นย ถ วงของเร อ G ส วนแรงลอยต ว F กระท าผ านจ ดศ นย กลางของแรงลอยต ว B ซ งเป นจ ด Centroid ของปร มาตร ส วนท จม (ซ งก ค อจ ดศ นย ถ วงของของเหลวท ถ กแทนท น นเอง) เม อเร อโคลงตามร ปท 16(b) จะพบว าต าแหน งจ ด B ท แรงลอยต วผ าน จะย ายไปท ต าแหน ง B เน องจากเก ดการเปล ยนแปลงร ปร าง และปร มาตรของของเหลวส วนท จม ต าแหน งแรงลอยต วน จะม แนวโน มท าให เก ดโมเมนต หม นให เร อกล บเข าส สภาวะท ม เสถ ยรภาพ ได ส วนร ปท 16(c) เน องจากออกแบบร ปร างเร อต างก น ต าแหน งท แรงลอยต วกระท าจะต างก น ในกรณ น แขนของโมเมนต เน องจากแรงลอยต วจะน อยกว าแขนของโมเมนต เน องจากน าหน ก ซ ง ม แนวโน มท เร อจะพล กคว าได เอกสารอ างอ ง [1] J.L.Meriam and L.G.Kraige, Engineering mechanics STATICS fifth edition SI Version, John Wiley & Sons, Inc., 003. 118 Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-4 5/3 The hydraulic cylinder operates the toggle which closes the vertical gate against the pressure of fresh water on the opposite side. The gate is rectangular with a horizontal width of m perpendicular to the paper. For a depth h = 3 m of water, calculate the required oil pressure p which acts on the 150-mm-diameter piston of the hydraulic cylinder. [Engineering Mechanics Statics 5th edition, Meriam & Kraige, prob.5/179] ว ธ ท า Ax เข ยน FBD ของประต น าได ด งน เน องจากระบบน เป นระบบเป ดส บรรยากาศ ผล A y ของความด นบรรยากาศท งสองด านของประต น า ห กล างก นหมด จ งไม ต องค ดความด นบรรยากาศ Ay F mg [ ] A = 0 p = ρgh x R แรงล พธ R หาโดยว ธ การปร ซ มความด น ด งน 1 R = ( ρgh)( h)(gate width) R = 1 3 ( )(3)() = 8890 N เน องจากล กษณะปร ซ มเป นร ปสามเหล ยม จ งร ว า แรง R กระท าท ความส ง 1/3 ของ h น บจากฐาน M CCW+ ) = 0 F ( F พ จารณาแรงกระท าท ข อต อของกระบอกส บ F F3 θ F [ F x = 0] [ ] = N F cosθ F cosθ = 0 F = Fy = 0 F3 F sin θ = 0 F = 0 F 3 = N F ความด นในกระบอกส บ p F = = πd 4 π( ) 4 = 6 Pa Ans 119 Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-5 5/4 A deep-submersible diving chamber designed in the form of a spherical shell 1500 mm in diameter is ballasted with lead so that its weight slightly exceeds its buoyancy. Atmospheric pressure is maintained within the sphere during an ocean dive to a depth of 3 km. The thickness of the shell is 5 mm. For this depth calculate the compressive stress σ which acts on a diametral section of the shell, as indicated in the right-hand view. [Engineering Mechanics Statics 5th edition, Meriam & Kraige, prob.5/167] ว ธ ท า เน องจากว ตถ ท พ จารณาม ความโค ง จ งต องต ด FBD ส วนของน ามาค ด โดยต ด ให เป นร ปร างท สามารถพ จารณาได ง ายด งน σ y C R σ x ใน FBD ด านบนจะแสดงเพ ยงแค แรงในแนวแกน x เท าน น และเน องจากระบบน เป น ระบบเป ดส บรรยากาศ และภายในเร อด าน าก ม ความด นเท าก บความด นบรรยากาศ เพราะฉะน นผลของความด นบรรยากาศจ งห กล างก นหมด จ งไม ต องค ดผลของความ ด นบรรยากาศ แรงล พธ R หาได โดยพ จารณาให ผ วด านข างด านท ม แรงด นน ากระท า เป นเหม อน แผ นเร ยบท ม หน าต ดวงกลม ซ งกรณ น การใช ส ตรหาแรงล พธ จะท าได ง ายท ส ด R = ρgha h A ค อ ความล กท จ ด Centroid ของวงกลม ซ งเท าก บ 3km ค อ พ นท ท แรงด นน ากระท า ในท น ค อพ นท วงกลม 120 Statics/ Chapter 5 Distributed Forces π 1.5 R = (1030)(9.81)(3 10 )( ) 4 3 π D π ( D ) แรงในเน อว สด [ = 0] x F = σ F R F = 0 3 π 1.5 (1030)(9.81)(3 10 )( 4 4 σ = π 1.5 π ( ) σ 4 4 MPa 3 ) = 0 Ans 121 Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-7 5/5 A block of wood in the form of a waterproofed 400 mm cube is floating in a tank of salt water with a 150 mm layer of oil floating on the water. Assume that the cube floats in the attitude shown, and calculate the height h of the block above the surface of the oil. The density of oil, salt water, and wood are 900, 1030, and 800 kg/m 3, respectively. [Engineering Mechanics Statics 5th edition, Meriam & Kraige, prob.5/17] ว ธ ท า เข ยน FBD ได ด งน mg y x B oil B water [ F = 0] y mg + B oil + B water = 0 ρ wood gv wood + ρ oil gv oil + ρ water gv water = A(400) + 900A(150) A( h) = 0 h = mm Ans 122 Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-8 แบบฝ กห ด ห วข อ 5/9 1. A fresh-water channel 3 m wide (normal to the plane of the paper) is blocked at its end by a rectangular barrier, shown in section ABD. Supporting struts BC are spaced every 0.6 m along the 3-m width. Determine the compression C in each strut. Neglect the weights of the members. [Engineering Mechanics STATICS 5 th edition, Meriam & Kraige] (Ans C =.83 kn). The hinged gate ABC closes an opening of width b (perpendicular to the paper) in a water channel. The water has free access to the underside as well as the right of the gate. When the water level rises above a certain value of h, the gate will open. Determine the critical value of h. Neglect the mass of the gate. [Engineering Mechanics STATICS 5 th edition, Meriam & Kraige] (Ans h = a 3 ) ร ปประกอบแบบฝ กห ดข อ 1 ร ปประกอบแบบฝ กห ดข อ 3. A flat plate seals a triangular opening in the vertical wall of a tank of liquid of density ρ. The plate is hinged about the upper edge O of the triangle. Determine the force P required to hold the gate in a closed position against the pressure of the liquid. [Engineering Mechanics STATICS 5 th edition, Meriam & Kraige] (Ans ρgab a P = h + ) 6 4. The upstream side of an arched dam has the form of a vertical cylindrical surface of 40-m radius and subtends an angle of 60. If the fresh water is 90 m deep, determine the total force R exerted by the water on the dam face. [Engineering Mechanics STATICS 5 th edition, Meriam & Kraige] (Ans R = 9.54 GN) 123 Statics/ Chapter 5 Distributed Forces 5-9 ร ปประกอบแบบฝ กห ดข อ 3 ร ปประกอบแบบฝ กห ดข อ 4 124 Statics/ Chapter 6 Friction 6-1 สถ ตยศาสตร (Statics) บทท 6 แรงเส ยดทาน 6/1 บทน า ในบทก อนๆ การส มผ สก นของว ตถ ม กถ กสมม ต ให ม แรงในแนวต งฉากก บผ วว ตถ เพ ยง อย างเด ยว ซ งหมายความว าพ นผ วน นเร ยบ ถ งแม ว าสมม ต ฐานน จะสามารถใช ได ด ก บป ญหาใน หลายๆ กรณ โดยม ความคลาดเคล อนเพ ยงเล กน อย แต ในหลายๆ กรณ จ าเป นต องค าน งถ งแรง ต านทานในแนวส มผ สก บผ วว ตถ ท เร ยกว าแรงเส ยดทานด วย แรงเส ยดทานเป นแรงต านทาน การเคล อนท หร อต านทานแนวโน มท จะเก ดการเคล อนท ด งน นท ศทางของแรงเส ยดทานจะ ตรงก นข ามก บท ศทางการเคล อนท หร อท ศทางท ม แนวโน มจะเก ดการเคล อนท เสมอ ในเคร องจ กรกลหลายๆ ชน ด เช น รองล น (ตล บล กป น, แบร ง Bearing) เฟ อง สกร ส ง ก าล ง หร อการไหลของของเหลวในท อ ไม ต องการให ม แรงเส ยดทาน ซ งท าให เก ดการเส ยดส ความร อน และการส กหรอข น อย างไรก ตามเคร องจ กรกลหลายๆ ชน ดใช ประโยชน จากแรง เส ยดทานเช นก น เช น เบรก คล ตช สายพาน ยางรถยนต เป นต น 6/ ประเภทของแรงเส ยดทาน แรงเส ยดทานสามารถแบ งได เป นประเภทใหญ ๆ 3 ประเภทด งน 1. Dry Friction แรงเส ยดทานประเภทน เก ดข นเม อม การส มผ สก นของผ วของแข งซ งไม เร ยบ และม การ เคล อนท ส มพ ทธ ก น หร อม แนวโน มท จะเคล อนท ส มพ ทธ ก น ท ศทางของแรงเส ยดทานจะตรงก น ข ามก บท ศการเคล อนท หร อท ศท ม แนวโน มจะเคล อนท แรงเส ยดทานชน ดน เร ยกอ กอย างหน ง ว า Coulomb friction. Fluid Friction Fluid Friction เก ดเม อแต ละช นของอน ภาคของไหล (ของเหลว หร อ ก าซ) เคล อนท ส มพ ทธ ก น แรงเส ยดทานประเภทน ข นอย ก บ ความเร วของของไหล และความหน ดของของไหล แรงเส ยดทานชน ดน ม ความส าค ญอย างมากในการศ กษาว ชากลศาสตร ของไหล 3. Internal Friction แรงเส ยดทานประเภทน เก ดข นในของแข งท กชน ด ซ งร บแรงแบบเป นคาบกล บไป กล บมา (Cyclical loading) ต วอย างแรงเส ยดทานประเภทน ค อการส นสะเท อนของของแข ง ซ ง จะส ญเส ยพล งงานไปท กๆ รอบของการส น ท าให ขนาดการส นสะเท อนลดลงจนกระท งหย ดน ง ส าหร บในบทน จะกล าวถ งเพ ยงแค Dry Friction เท าน น 125 Statics/ Chapter 6 Friction 6- ร ปท 1 Dry Friction [1] 6/3 Dry Friction Mechanism of Dry Friction พ จารณากล องมวล m ซ งวางอย บนพ นขร ขระ ด งแสดงในร ปท 1(a) แรง P เป นแรง ภายนอกท กระท าก บกล องน FBD ของกล องน แสดงด งร ปท 1(b) เน องจากพ นขร ขระ จ งต องม แรงเส ยดทาน F ต านทานการเคล อนท เก ดข นด วย เน องจากเม อให แรง P ว ตถ จะม แนวโน ม เคล อนท ไปทางขวาม อตามท ศทางแรง P ด งน นแรงเส ยดทานจ งต องม ท ศทางไปทางด านซ าย ตรงข ามก บแรง P ส วนแรง R ค อผลรวมของแรงเส ยดทาน F และ แรงปฏ ก ร ยาท พ นด นกล อง N ร ปท 1(d) แสดงความส มพ นธ ของขนาดของแรง P และแรงเส ยดทาน F เม อขนาดของ แรง P ค อยๆ เพ มข นจากศ นย ถ าขณะน นกล องย งไม เคล อนท แสดงว ากล องย งอย ในสภาวะ สมด ล น นค อ แรงเส ยดทาน F จะม ค าเท าก บแรงภายนอก P และจะเร ยกแรงเส ยดทานในช วงน ว าแรงเส ยดทานสถ ต อย างไรก ตามถ าเพ มแรง P จนถ งค าๆ หน ง กล องจะเร มเคล อนท ค าแรง เส ยดทานสถ ตส ดท ายก อนท กล องจะเคล อนท เร ยกว าแรงเส ยดทานสถ ตส งส ด เม อกล องเร ม เคล อนท แล ว จะพบว าขนาดแรงเส ยดทานจะลดลงเล กน อย และม ค าค อนข างคงท แรงเส ยดทาน ในช วงน จะเร ยกว าแรงเส ยดทานจลน อย างไรก ตามถ าความเร วในการเคล อนท มากข นขนาด แรงเส ยดทานจะลดลงเล กน อย ส าหร บการค านวณจะพ จารณาให ค าแรงเส ยดทานจลน ม ค าคงท เพ อให เข าใจถ งกลไกของแรงเส ยดทานด ย งข น พ จารณาร ปท 1(c) ซ งแสดงภาพขยาย ของผ วส มผ สระหว างกล องก บพ น จะเห นว าท งผ วกล องและผ วของพ นขร ขระ ท าให การส มผ ส 126 Statics/ Chapter 6 Friction 6-3 ก นของท ง ผ ว เก ดท บางต าแหน งเท าน น แรง R1, R และ R3 แสดงแรงปฏ ก ร ยาย อยๆ ท แต ละต าแหน งจ ดส มผ ส จากร ปจะเห นว าแรง R1, R และ R3 ม ท ศทางไม เหม อนก น ข นอย ก บ ล กษณะร ปร างของพ นผ ว และการเส ยร ปของยอดขร ขระ ผลรวมของแรง R1, R และ R3 ค อ แรงล พธ R ส วนผลรวมของแรง R1, R และ R3 ในท ศทางต งฉาก (ท ศทาง n) และท ศทาง ส มผ ส (ท ศทาง t) ก ค อแรง N และแรง F ในร ปท 1(b) ตามล าด บ ในขณะท ว ตถ เคล อนท การ ส มผ สก นของผ ว จะเก ดท ส วนยอดของผ วขร ขระเท าน น ด วยสาเหต น แรงเส ยดทานซ งเก ดข นใน ขณะท เคล อนท หร อแรงเส ยดทานจลน จ งม ค าน อยกว าในขณะท หย ดน ง (แรงเส ยดทานสถ ต ส งส ด) แรงเส ยดทานสถ ต (Static Friction) แรงเส ยดทานท เก ดข นในช วงก อนท จะเก ดการเคล อนท เร ยกว า แรงเส ยดทานสถ ต จาก ร ปท 1(d) พบว าขนาดของแรงเส ยดทานน เปล ยนแปลงต งแต ศ นย ถ งค าแรงเส ยดทานสถ ตส งส ด โดยค าแรงเส ยดทานสถ ตส งส ดหาได จากสมการ Fmax = μ s N (1) สมการท (1) จะใช ได ในกรณ ท ว ตถ ก าล งจะเคล อนท ซ งแรงเส ยดทานสถ ตม ค าส งส ด เท าน น ถ าว ตถ ย งไม เก ดการเคล อนท แรงเส ยดทานต องม ค าเท าก บแรงท ท าให ระบบสมด ล และ ม ค าน อยกว าค าแรงเส ยดทานสถ ตส งส ด ( F μ N < ) แรงเส ยดทานจลน (Kinematic Friction) เม อว ตถ เก ดการเคล อนท แรงเส ยดทานจะม ค าลดลง เร ยกว าแรงเส ยดทานในช วงน ว า แรงเส ยดทานจลน ขนาดของแรงเส ยดทานจลน สามารถค านวณได จากสมการ FK = μ k N () เน องจากท พ นผ วเด ยวก น แรงเส ยดทานจลน จะม ค าน อยกว าแรงเส ยดทานสถ ตเสมอ ด งน นจะพบว า μ S > μ k เสมอ s 127 Statics/ Chapter 6 Friction 6-4 ม มของแรงเส ยดทาน (Friction Angles) mg P α N F ร ปท ม มของแรงเส ยดทาน α ร ปท สองแสดง FBD ของว ตถ มวล m ซ งถ กด งด วยแรง P จะพบว าแรงท พ นกระท าก บ ว ตถ ม อย แรง ค อแรง N และแรงเส ยดทาน F เม อรวมแรง N และ F เข าด วยก นจะได แรงล พธ ซ งท าม มก บแนวด งเท าก บม ม α ม ม ความส มพ นธ ของม ม α ก บแรง N และ F เป นด งน F tan α = (3) N จะพบว าเม อเพ มแรง P ข นเร อยๆ จนว ตถ เร มเคล อนท แรงเส ยดทาน F จะม ค ามากท ส ด ท าให ม ม α ม ค ามากท ส ดเท าก บ φ S เร ยกม ม φ S น ว าม มของแรงเส ยดทานสถ ต โดย ท านองเด ยวก น ก าหนดให ม มของแรงเส ยดทานจลน ค อ F μ S N tan φ S = max = = μ S (4) N N μ k N tan φ k = = μ k (5) N ชน ดของป ญหาเร องแรงเส ยดทาน ป ญหาเร องแรงเส ยดทาน สามารถแบ งออกได เป น 3 ประเภทด งน 1. ป ญหาซ งร ว าว ตถ ก าล งจะเคล อนท เม อว ตถ ก าล งจะเคล อนท หร อเปล ยนสภาพจากหย ดน งไปเป นเคล อนท แรงเส ยดทาน จะม ค ามากท ส ด โดย F = F max = μ s N นอกจากน เน องจากว ตถ ก าล งจะเคล อนท หมายถ งว ตถ ย งหย ดน งอย ด งน นจ งสามารถ ใช สมการสมด ลก บป ญหาประเภทน ได ตามปกต. ป ญหาซ งร ว าว ตถ ก าล งเคล อนท อย เน องจากว ตถ ก าล งเคล อนท ขนาดของแรงเส ยดทานจะม ค าเท าก บแรงเส ยดทานจลน ตามสมการ F = FK = μ k N เน องจากกรณ น ว ตถ เคล อนท จ งอาจจะอย หร อไม อย ในสภาพสมด ลก ได ถ าเคล อนท ด วยความเร วคงท ในแนวเส นตรงจะอย ในสภาวะสมด ล แต ถ าเคล อนท ด วยความเร งจะไม อย ใน สภาพสมด ล ท าให ไม สามารถใช สมการสมด ลในท ศทางท เก ดความเร งได 128 Statics/ Chapter 6 Friction ป ญหาซ งไม ร สภาพการเคล อนท ของว ตถ ในกรณ น ไม ร ว าว ตถ ย งไม เคล อนท ก าล งจะเคล อนท หร อเคล อนท อย การแก ป ญหาใน กรณ น สามารถท าได ตามข นตอนด งน 1. สมม ต ให ว ตถ อย ในสภาพสมด ล. ใช สมการสมด ลค านวณหาแรงเส ยดทาน F (ไม แทน F ด วย F = F max = μ s N เน องจากไม ร ว าว ตถ อย ในสภาพก าล งจะเคล อนท หร อไม ) 3. เม อหาค า F ได จากสมการสมด ล ตรวจสอบค า F ว าเป นไปได หร อไม ด งน ถ าค า F < μ s N แสดงว าเก ดแรงเส ยดทานน ได กรณ น ว ตถ ย งหย ดน งอย ค าแรงเส ยดทาน จ งม ค าน อยกว าค าแรงเส ยดทานมากท ส ด ด งน นท สมม ต ให ว ตถ อย ในสภาพสมด ลถ กต องแล ว ถ าค า F = μ s N แสดงว าเก ดแรงเส ยดทานน ได กรณ น ว ตถ ก าล งจะเร มเคล อนท ค าแรง เส ยดทานจ งม ค าเท าก บแรงเส ยดทานมากท ส ด ด งน นท สมม ต ให ว ตถ อย ในสภาพสมด ลถ กต อง แล ว ถ าค า F > μ s N แสดงว าแรงเส ยดทานน เป นไปไม ได การสมม ต ผ ดความเป นจร ง ว ตถ เก ด การเคล อนท เอกสารอ างอ ง [1] J.L.Meriam and L.G.Kraige, Engineering mechanics STATICS fifth edition SI Version, John Wiley & Sons, Inc., 003. 129 Statics/ Chapter 6 Friction 6-6 4/1 6/1 The 30-kg homogeneous cylinder of 400-mm diameter rests against the vertical and inclined surfaces as shown. If the coefficient of static friction between the cylinder and the surface is 0.3, calculate the applied clockwise couple M which would cause the cylinder to slip. [Engineering Mechanics Statics 5 th edition, Meriam & Kraige, prob.6/8] y F 1 x M N 1 [ ] [ M ] O = 0 O W 30º CW+ F N ว ธ ท า [ F x = 0] เข ยน Free-body diagram ได ด ง ร ป โดยจะส งเกตได ว าเร มแรกจะ แทนแรงเส ยดทานแต ละจ ดด วยค า F เส ยก อน W = mg = (30)(9.81) F1 cos30 + N1 sin 30 N = 0 Fy = 0 1 cos30 F1 sin 30 + F (30)(9.81) = 0 N () N (1) M F 0.) F (0.) 0 (3) 1 ( = เน องจากโมเมนต M ท ใส เข าไปท าให เก ดการหม นรอบจ ด O ด งน นจ ดส มผ สท ง สองจะต องเก ดการไถลพร อมก น F = 1 = μn1 0. 3N1 และ F = μn = 0. 3N แทนค าแรงเส ยดทาน F 1 และ F ลงในสมการ (1) และ () ได 0.3N cos30 + N1 sin 30 N 1 = ( 0.3cos 30 + sin 30 ) N N 1 = N cos30 0.3N1 sin N (30)(9.81) 1 = (cos30 0.3sin 30 ) N + 0.3N = (30)(9.81) 0 (4) (5) 130 Statics/ Chapter 6 Friction 6-7 แก สมการท (3) และ (4) จะได N 1 = N = N N แทนค า N 1 และ N ลงในสมการท (3) จะได M ( 0.3)( )(0.) (0.3)( )(0.) = 0 M = 3.9 Nm Ans 131 Statics/ Chapter 6 Friction 6-8 4/ 6/ Determine the smallest couple moment which can be applied to the 0-N ( -kg) wheel that will cause impending motion. The cord is attached to the 30-N ( 3-kg) block, and the coefficients of static friction are μ B = 0. and μ D = 0.3. [Engineering Mechanics Statics 11 th edition, R.C.Hibbeler, prob.8/46] 0.15 m M C 0.15 m 0.3 m ว ธ ท า B D เข ยน Free-body diagram ของล อ และบล อกได ด งน 0N 30N T T y x M B N B F B F D E x N D จาก Free-body diagram สามารถเข ยนสมการสมด ลได ด งน ท ล อ [ F x = 0] [ ] T F B = 0 Fy = 0 B 0 = 0 ท บล อก [ F x = 0] [ ] N ; = 0 N () F D T = 0 Fy = 0 D 30 = 0 N B N ; = 30 N (4) N D เม อให moment ท ล อจนเร มเก ดการเคล อนท การเคล อนท ท เก ดข นได เป นไปได 3 กรณ ด งน 1. เก ดการไถลระหว างล อก บพ น (ล อหม นฟร บล อกไม เคล อนท ). เก ดการไถลระหว างบล อกก บพ น (ล อกล งโดยไม ไถล ด งให บล อกเคล อนท ) 3. บล อกล ม (ล อกล งโดยไม ไถล ด งให บล อกล ม) (1) (3) 132 Statics/ Chapter 6 Friction 6-9 สมม ต ให เก ดการไถลระหว างล อก บพ นก อน ด งน น FB = Fmax = μbn B = 0.(0) = 4 N จาก (1) จะได T F = 4 = B N จาก (3) จะได F T = F = 4 D = B N เน องจากสมม ต ให เก ดการไถลระหว างล อก บพ นก อน ด งน นท บล อกต องย งไม เก ด การไถล และไม เก ดการล ม สามารถตรวจสอบว าท สมม ต ไว เป นจร งหร อไม ได ด งน ตรวจสอบการไถลระหว างบล อกก บพ น ( F ) max μ N = 0.3(30) = 9 N D = D D เน องจาก F D ท ค านวณได จากสมการสมด ลเท าก บ 4 N ม ค าน อยกว าค า (F D ) max ซ งเท าก บ 9N แสดงว าบล อกไม เก ดการไถล ด งน นท สมม ต ไว จ งเป นไปได ตรวจสอบการล มของบล อก เม อออกแรงด งแล วบล อกเร มล ม ปลายด านขวาของบล อกจะเร มยก ท าให แรง N D ย ายไปทางด านซ ายเร อยๆ และจะเร มล มเม อแรง N D เล อนไปอย ท จ ด E ด งน นการ ตรวจสอบว าบล อกจะล มหร อไม ก ค อการตรวจสอบว าแรง N D กระท าท ต าแหน งใด ถ าแรง N D กระท าอย ภายในฐานของบล อกแสดงว าว ตถ ย งอย ในสภาพสมด ลอย และ บล อกไม ล ม แต ถ าค านวณต าแหน งแรง N D แล วต าแหน งแรงกระท าอย ภายนอก ฐาน ซ งเป นไปไม ได แสดงว าว ตถ ต องเก ดการล มก อน [ M ] E = 0 CW+ 30(0.15) N D 0.15 ( x) T (0.3) = (0.075 x) 4(0.3) = 0 x = 0.04 เน องจาก x ท ค านวณได จากสมการสมด ลม ค าเท าก บ 0.04 m ซ งน อยกว าระยะ จากจ ดศ นย กลางมวลไปย งม ม E แสดงว าแรง N D ย งกระท าอย ในขอบฐานของ บล อก ด งน นบล อกจ งไม ล มตามท สมม ต ไว จากท ตรวจสอบพบว าเก ดการไถลท ล อ น นค อล อหม นฟร แต บล อกไม เคล อนท และไม ล ม M = 0 M T ( 0.3) = 0 ค ดท ล อ [ B ] M Nm Ans = 4 (0.3) = 1. m 133 Statics/ Chapter 6 Friction 6-10 ว ธ ท า y P x F A เข ยน Free-body diagram ของม วนกระดาษได ด งน A 30º mg O B N F B 4/3 6/3 The industrial truck is used to move the solid 100-kg roll of paper up the 30 incline. If the coefficients of static and kinetic friction between the roll and the vertical barrier of the truck and between the roll and the incline are both 0.40, compute the required tractive force P between the tires of the truck and the horizontal surface. [Engineering Mechanics Statics 5 th edition, Meriam & Kraige, prob.6/43] [ ] F x = 0 P N sin 30 F cos30 = 0 [ F y = 0] B N cos 30 F F sin 30 mg = 0 [ M ] O = 0 F r F A B A r = 0 ; B CCW+ F = F เน องจากม จ ดท ม วนกระดาษส มผ สก บช นส วนอ นอย จ ด ด งน นการไถลอาจจะเก ด ไม พร อมก น ค อเก ดท จ ด A หร อจ ด B ก อนก ได A B (1) () (3) สมม ต ให เก ดการไถลท จ ด B ก อน เม อก าล งจะเก ดการไถล = μn F B (4) แทนค า F A และ F B จากสมการ ; (4) และ (3) ลงในสมการ () N cos 30 μn μn sin 30 mg = 0 mg 100(9.81) N = = = cos30 μ μ sin 30 cos sin 30 แทนค า N ลงในสมการ (1) เพ อหาค า P N P = N sin 30 + μn cos30 P = ( ) sin ( ) cos 30 = N ค า P ท ได น ย งไม ใช ค าตอบ เน องจากเก ดจากการสมม ต ให เก ดการไถลท จ ด B ก อน การตรวจสอบว าท สมม ต น เป นจร งหร อไม ท าโดย ตรวจสอบว า F A ท ค านวณได จากสมการสมด ลม ค ามากกว าค า (F A ) max หร อไม 134 Statics/ Chapter 6 Friction 6-11 จากสมการ (3) F = F = N = 0.4( ) A B μ N ( F A ) max = μp = 0.4( ) N จะเห นว า F A ท ค านวณได จากสมการสมด ลม ค ามากกว า (F A ) max ซ งเป นไปไม ได ด งน นท สมม ต มาตอนแรกให เก ดการไถลท จ ด B ก อนจ งไม เป นความจร ง การไถล ต องเก ดท จ ด A ก อน และ F A = ( F ) max A = μp จากสมการ (1) ได N sin 30 = P F cos30 (5) B จากสมการ () ได N cos30 = F + F sin 30 mg (6) A B + (5)/(6) tan 30 = F A P FB cos30 + F sin 30 + mg B (7) เน องจาก F A = F B = μp สมการ (7) จะเข ยนได เป น P μp cos30 tan 30 = μp + μp sin 30 + mg จ ดร ปเพ อหาค า P ได ด งน mg tan 30 P = 1 μ cos30 μ tan 30 (1 + sin 30 ) (100)(9.81) tan 30 P = 1 0.4cos tan 30 (1 + sin 30 ) P = 15.7 N. 1 kn Ans 135 Statics/ Chapter 6 Friction 6-1 แบบฝ กห ด 1. The light bar is used to support the 50-kg block in its vertical guides. If the coefficient of static friction is 0.3 at the upper end of the bar and 0.4 at the lower end of the bar, find the friction force acting at each end for x = 75 mm. Also find the maximum value of x for which the bar will not slip. [Engineering Mechanics STATICS 5 th edition, Meriam & Kraige] (Ans F A = F B = 16.6 N, x max = 86. mm). A block of mass m 0 is placed between the vertical wall and the small ideal roller at the upper end A of the uniform slender bar of mass m. The lower end B of the bar rests on the horizontal surface. If the coefficient of static friction is μ s at B and also between the block and the wall, determine a general expression for the minimum value θ min of θ for which the block will remain in equilibrium. Evaluate you expression for μ s = 0.5 and m/m 0 = 10. For these conditions, check for possible slipping at B. [Engineering Mechanics STATICS 5 th edition, Meriam & Kraige] (Ans θ min 1 m0 = tan, θ = 1. 8 μ sm min ) ร ปประกอบแบบฝ กห ดข อ 1 ร ปประกอบแบบฝ กห ดข อ 3. Determine the normal force P that must be exerted on the rack to begin pushing the 100-kg pipe shown in Figure up the 0º incline. μ sa = 0.15, μ sb =0.4. [Engineering Mechanics STATICS 11 th edition, R.C.Hibbeler] (Ans P = 498 N) 4. Two blocks A and B, each having a mass of 6 kg, are connected by the linkage shown. If the coefficient of static friction at the contacting surfaces is μ s = 0.5, determine the largest vertical force P that may be applied to pin C of the linkage 136 Statics/ Chapter 6 Friction 6-13 without causing the blocks to move. Neglect the weight of the links. [Engineering Mechanics STATICS 11 th edition, R.C.Hibbeler] (Ans P = N) C B A 30º P 30º ร ปประกอบแบบฝ กห ดข อ 3 ร ปประกอบแบบฝ กห ดข อ 4 5. Block C has a mass of 50-kg and is confined between two walls by smooth rollers. If the block rests on top of the 40-kg spool, determine the minimum cable force P needed to move the spool. The cable is wrapped around the spool s inner core. The coefficients of static friction at A and B are μ A =0.3 and μ B =0.6. [Engineering Mechanics STATICS 11 th edition, R.C.Hibbeler] (Ans P = 589 N) 6. Three boxes are placed on the incline in contact with each other and released from rest. The coefficients of static friction under boxes A, B, and C are 0.30, 0.0, and 0.35, respectively. Describe what happens. [Engineering Mechanics STATICS 10 th edition, R.C.Hibbeler] (Ans A และ B ไถลต ดก นลงตามพ นเอ ยง C หย ดน งบนพ นเอ ยง) ร ปประกอบแบบฝ กห ดข อ 5 ร ปประกอบแบบฝ กห ดข อ 6 |
ข อด ข อเส ยของ เคร องม อทางภ ม ศาสตร
กระทู้ที่เกี่ยวข้อง
ลิขสิทธิ์ © 2024 th.cemle Inc.
